通过极值求参数范围

通过极值求参数范围3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则()A．0＜b＜1B．b＜1C．b＞0D．b＜12答案A解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0，∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1综上，b的范围为0＜b＜110．已知函数f(x)＝13x3－bx2＋c(b，c为常数)．当x＝2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)只有三个零点，则实数c的取值范围为________答案0c43解析∵f(x)＝13x3－bx2＋c，∴f′(x)＝x2－2bx，∵x＝2时，f(x)取得极值，∴22－2b×2＝0，解得b＝1.∴当x∈(0,2)时，f(x)单调递减，当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增．若f(x)＝0有3个实根，则f0＝c0f2＝13×23－22＋c0，，解得0c4311．设m∈R，若函数y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的极值点，则m的取值范围是________．答案m－12解析因为函数y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于0的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m1，即m－12.12．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)，则极小值为________．答案0解析f′(x)＝3x2－2px－q，由题知f′(1)＝3－2p－q＝0.又f(1)＝1－p－q＝0，联立方程组，解得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，解得x＝1或x＝13，经检验知x＝1是函数的极小值点，∴f(x)极小值＝f(1)＝0.2．已知函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥32B．m32C．m≤32D．m32解析：因为函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－272，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－272≥－9，解得m≥32.10．(2010·皖南八校联考)已知函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)0，得－axa，∴f(x)在区间(－∞，－a]内递增，在区间[－a，a]内递减，在区间[a，＋∞)内递增，极大值为f(－a)＝2a3＋a＝a(2a2＋1)0，①极小值为f(a)＝a(1－2a2)0，②由①②得a∈(22，＋∞)．答案：(22，＋∞)存在极值点问题6．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则()A．a＜－1B．a＞－1C．a＜－1eD．a＞－1e解析：∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.答案：A8．已知函数1)6()(23xaaxxxf有极大值和极小值，则a的取值范围是（C）A．21aB．63aC．63aa或D．21aa或2．若函数32()(0)fxaxbxcxda在R上无极值，则必有（）()A230bac()B230abc()C230bac()D230abc三次函数根的情况5．设f(x)=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数.已知当k0或k4时，f(x)–k=0只有一个实根；当0k4时，f(x)–k=0有三个相异实根,现给出下列命题：(1)f(x)–4=0和f(x)=0有一个相同的实根；(2)f(x)=0和f(x)=0有一个相同的实根；(3)f(x)+3=0的实根大于f(x)–1=0的任一实根；(4)f(x)+4=0的实根小于f(x)–2=0的任一实根.；其中，错误命题的个数是（D）A．4B．3C．2D．1已知32()(6)1fxxaxax有极大值和极小值，则a的取值范围为()A．12aB．36aC．1a或2aD．3a或6a3.设函数。①对于任意实数，恒成立，求的最大值；②若方程有且仅有一个实根，求的取值范围。设a为实数,函数.)(23axxxxf(Ⅰ)求)(xf的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线xxfy与)(轴仅有一个交点.3．（2005重庆卷文第19题）设函数aaxxaxxf其中,86)1(32)(23R.（1）若3)(xxf在处取得极值，求常数a的值；（2）若)0,()(在xf上为增函数，求a的取值范围.已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极大值5，其导函数'()yfx的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x的值；（Ⅱ）,,abc的值.[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力[解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在,1上'0fx，在1,2上'0fx，在2,上'0fx,故()fx在（-，1），（2，+）上递增，在(1,2)上递减，329()62fxxxxax()fxmm()0fxa因此fx在1x处取得极大值，所以01x（Ⅱ）'2()32,fxaxbxc由'''fff（1）=0，（2）＝0，（1）＝5，得320,1240,5,abcabcabc解得2,9,12.abc解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设'2()(1)(2)32,fxmxxmxmxm又'2()32,fxaxbxc所以3,,232mabmcm,32|3()2,32mfxxmxmx由(1)5f，即325,32mmm得6,m所以2,9,12abc三次函数的考察12．若函数343yxbx有三个单调区间，则b的取值范围是．有参数的极值点10．设132a，函数)11(23)(23xbaxxxf的最大值为1，最小值为26，求常数ba,。解：令0)(333)(2axxaxxxf得0x或ax，当01x时，0)(xf；当ax0时，0)(xf；当1xa时，0)(xf。故函数有极大值bf)0(，极小值baaf321)(，又baf231)1(，baf231)1(，由于132a，∵)()0(aff，)1()1(ff，又0123)1()0(aff，故最大值为1)0(bf，同理，012321)1()(3aafaf，故最小值为3626)1(af