2019年上海市春考数学试卷

上海市教育考试院保留版权2019年春考数学第1页（共4页）2019年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴在指定位置．3．所有作答必须涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．已知集合{1,2,3,4,5}A，{3,5,6}B，则AB．2．计算：22231lim41nnnnn．3．不等式|1|5x的解集为．4．函数2()fxx（0x）的反函数为．5．设i为虚数单位，3i65iz，则||z的值为．6．已知二元线性方程组22214xyxaya有无穷多解，则实数a．7．在61xx的二项展开式中，常数项的值为．8．在△ABC中，3AC，3sin2sinAB，且1cos4C，则AB．9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其余每人各参加1天，则所有不同的安排种数为．（结果用数值表示）10．如图，正方形OABC的边长为a（1a），函数23yx的图像交AB于点Q，函数12yx的图像交BC于点P，则当||||AQCP最小时，a的值为．ABCOxyQP2019年春考数学第2页（共4页）11．已知P为椭圆22142xy上的任意一点，Q与P关于x轴对称，1F、2F为椭圆的左右焦点，若有121FPFP≤，则1FP与2FQ的夹角范围为．12．已知tR，集合[,1][4,9]Atttt，0A，若存在正数，使得对任意aA，都有Aa，则t的值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．下列函数中，值域为[0,)的是（）．(A)2xy(B)12yx(C)tanyx(D)cosyx14．已知a、bR，则“22ab”是“||||ab”的（）．(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件15．已知平面、、两两垂直，直线abc、、满足：a，b，c，则直线abc、、不可能是（）．(A)两两垂直(B)两两平行(C)两两相交(D)两两异面16．平面直角坐标系中，两动圆1O、2O的圆心分别为1(,0)a、2(,0)a，且两圆均定点(1,0)，两圆与y轴正半轴分别交于点1(0,)y、2(0,)y，若12lnln0yy，点1211,aa的轨迹为，则所在的曲线可能是（）．(A)直线(B)圆(C)椭圆(D)双曲线三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正三棱锥PABC中，侧棱长为2，底面边长为3，M、N分别是PB和BC的中点．(1)求异面直线MN与AC所成角的大小；(2)求三棱锥PABC的体积．2019年春考数学第3页（共4页）18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知数列{}na中，13a，前n项和为nS．(1)若{}na为等差数列，且415a，求nS；(2)若{}na为等比数列，且lim12nnS，求公比q的取值范围．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现金支出、社会支出、政府支出，下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．年份卫生总费用（亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数占卫生总费绝对数占卫生总费绝对数占卫生总费201228119.009656.32A10030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.40B31.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）(1)计算A、B的数据，并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势；(2)设1t表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数6.44200.1136357876.6053()1etft，研究()ft的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿元的年份．2019年春考数学第4页（共4页）20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）已知抛物线24yx，F为焦点，P为抛物线准线l上一动点，线段PF与抛物线交于点Q，定义||()||PFdPFQ．(1)若点P的坐标为81,3，求()dP；(2)证明：存在常数a，使得2()||dPPFa成立；(3)设1P，2P，3P为抛物线准线l上三点，且1223||||PPPP，试比较13()()dPdP与22()dP的大小．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若{}na是等差数列，公差(0,π]d，数列{}nb满足：sin()nnba，*nN，记{|,*}nSxxbnN．(1)若10a，2π3d，求集合S；(2)若1π2a，试求d的值，使得集合S恰有两个元素；(3)若集合S恰有三个元素，且nTnbb，其中T为不超过7的正整数，求T的所有可能值．