5阶跃折射率光纤中的场解

§5阶跃折射率光纤中的场解•数学模型•园柱坐标系中的波导场方程•边界条件•本征解与本征值方程•本征值与模式分析§5-1数学模型及波动方程的解•数学模型：阶跃折射率分布光纤(SIOF)是一种理想的数学模型,即认为光纤是一种无限大直园柱系统,芯区半径a,折射率为n1;包层沿径向无限延伸,折射率为n2;光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质。波导场方程与解的基本形式•六个场分量：Er,Eφ,Ez,Hr,Hφ,Hz•波导场方程：•解的基本形式：0)(22222zzjHErrr)(ˆ),(),(ˆ),(),(),,,(),,,()(),(ztjztztjzezrHrHzrErEtzrHtzrEerFrE贝塞尔方程及其解•纵向场分量满足：贝塞尔方程•贝塞尔方程的解：–第一类和第二类贝塞尔函数：J,N–第一类和第二类汉克尔函数：H(1),H(2)–第一类和第二类变态汉克尔函数：I,K2,1,0)()()()(202022222222iknkrFrkrdrrdFdrrFdiiii场解的选取•依据：–导模场分布特点:在空间各点均为有限值;在芯区为振荡形式,而在包层则为衰减形式;导模场在无限远处趋于零。–贝塞尔函数形式:J呈振荡形式,K则为衰减形式。•本征解选取:在纤芯中选取贝赛尔函数J,在包层中选取变态汉克尔函数K..J0K0J1K1本征解的确定•纤芯(0ra)：•包层(ra)：•横向分量：（5-1-15）；（5-1-16）jIIzIIzjIzIzeaWrKDCHEeaUrJBAHE)()(本征值方程的导出•边界条件：在r=a,Ez,Hz,E,H连续–EIz|a=EIIz|a:AJ(U)-CK(W)=0–HIz|a=HIIz|a:BJ(U)-DK(W)=0–EI|a=EII|a:(5-1-20c)–HI|a=HII|a:(5-1-20d)•确定待定系数ABCD有非全零解：ABCD系数行列式为零，即可导出本征值方程。本征值方程–又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过其定义式与β相联系,因此它实际是关于β的一个超越方程。当n1、n2、a和λ0给定时,对于不同的值,可求得相应的β值。由于贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质,所以本征值方程可以有多个不同的解β(0,1,2,3...1,2,3...),每一个β都对应于一个导模。22222'22'21'')11())((WUWKKkUJJkWKKUJJ归一化工作参数•归一化工作频率：•归一化横向传播常数：•归一化横向衰减常数：•有效折射率：neff=/k0•归一化工作参数：221022210anknnaV22021knaU20222knaW222122222nnnnVWbeff贝塞尔函数递推公式(I))2(!1)(lim)24cos(2)(lim)()(21)()()(21)(01111'xxJxxxJxJxJxJxxJxJxJxx微分公式：递推公式：大宗量近似：小宗量近似：贝塞尔函数递推公式(II))0()781.12ln()1(2)!1()(lim1)(lim)()(21)()()(21)(101111'xxxKexxKxKxKxKxxKxKxKxxx微分公式：递推公式：大宗量近似：小宗量近似：本征值方程的其它形式（1）（2）（3）)()(;)()())(()11(''222122222WWKWKKUUJUJJKkJkKJWU)(;)()()()(2111弱导近似WWKWKUUJUJ)()(;)()(0))(())((112121WWKWKKUUJUJJKJKJKJKJ§5-2模式分类准则•0,Ez=0,orHz=0,对应于TE模或TM模•0,Ez=0,andHz=0,对应于HE模或EH模•分类参数k:k0:TM,k:TE,k1:EH,k1:HE,)//()/1/1(2222212221220WkUkKkJkKJWUEjHIzIzk)//()/1/1(0))((222221222122222100WkUkKkJkWUKJKkJkKJ模式分类的物理意义•偏振特性:TE模与TM模是偏振方向相互正交的线偏振波;HE模与EH模则是椭圆偏振波,其中HE模偏振旋转方向与波行进方向一致(符合右手定则),EH模偏振旋转方向则与光波行进方向相反;•场强关系:EH模电场占优势,而HE模磁场占优势;(Ez,Hz)(Et,Ht),模式近似为横场分布；•相位关系:EH模的Hz分量超前于Ez90°,HE模的Hz分量落后于Ez90°。本征解的确定•纤芯(0ra)：•包层(ra)：•横向分量：（5-1-15）；（5-1-16）jIIzIIzjIzIzeaWrKDCHEeaUrJBAHE)()(§5-3模式本征值•模式的截止与远离截止:–临近截止:W=0,场在包层中不衰减–远离截止:W→∞,场在包层中不存在•截止与远离截止条件:模式临近截止远离截止TE0(TM0)J0(Uc)＝0J1(U∞)＝0HEJ2(Uc)＝0J1(U∞)＝0EHJ(Uc)＝0J1(U∞)＝0*除了HE1模式以外,U不能为零•模式本征值:UcUU∞色散曲线•色散曲线–结构参数给定的光纤中,模式分布是固定的。可根据本征值方程式利用数值计算得到各导模传播常数β与光纤归一化频率V值的关系曲线,称之为色散曲线。因此,本征值方程又叫色散方程。•色散曲线分析–图中每一条曲线都相应于一个导模。–平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点数就是光纤中允许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传播常数β。–给定V值,V=Vc,则Vc越大导模数越多;反之亦然。–当Vc＜2.405时,在光纤中只存在HE11模,其它导模均截止,为单模传输;n1n2k0HE11HE21HE31HE12TE01TM01EH11V246n1~n2EH21HE41HE22TE02TM02模式数目V模式导模总数0--2.4052.405--3.8323.832--5.1365.136--5.5205.520--6.380..HE11HE21,TE01,TM01HE12,HE31,EH11HE41,EH21HE22,TE02,TM02..22+4=66+6=1212+4=1616+4=20..#给定V值，SIOF中的导模数目近似等于V2/2,所含精确模式可根据导模截止与远离截止条件确定。单模工作条件•单模条件:Vc＝（2π/λ0）a√n12－n22＜2.405•单模光纤尺寸:ac＝1.202λ0/（π√n12－n22）•单模光纤截止波长:λc＝（πa√n12－n22）/1.202•单模光纤截止频率:fc＝1.202c/（πa√n12－n22）•仅当λ＞λc或f＜fc时方可在光纤中实现单模传输.这时,在光纤中传输的是HE11模,称为基模或主模。紧邻HE11模的高阶模是TE01、TM01模和HE21模,其截止值均为Vc＝2.405。