1.3.函数的基本性质(教案)A-B

人教版新课标普通高中◎数学①必修11.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值教案A第1课时教学目标一、知识与技能1.建立增（减）函数的概念，掌握用定义证明函数单调性的步骤；2.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；3.能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性；4.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.二、过程与方法1.通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识.再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义.2.从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛.三、情感、态度与价值观使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感.教学重点、难点教学重点：函数的单调性及其几何意义.教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性.教法与学法导航教学方法：启发引导学习方法：从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性.通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标.教学过程一、创设情境，导入新课1.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：①随x的增大，y的值有什么变化？yx1-11-1yx1-11-1yx1-1-1教师备课系统──多媒体教案2②能否看出函数的最大、最小值？③函数图象是否具有某种对称性？2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f（x）=x①从左至右图象上升还是下降______②在区间____________上，随着x的增大，f（x）的值________.（2）f（x）=-x+2①从左至右图象上升还是下降______②在区间____________上，随着x的增大，f（x）的值随着________.（3）f（x）=x2①在区间____________上，f（x）的值随着x的增大而________.②在区间____________上，f（x）的值随着x的增大而________.3.从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）.二、主题探究，合作交流1.增函数：y=x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：函数y=x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22.即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数.一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数.2.从函数图象上可以看到，y=x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？仿照增函数的定义说出减函数的定义.（学生活动）注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1、x2,当x1x2时，总有f（x1）f（x2）.3.函数的单调性定义oooyx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1人教版新课标普通高中◎数学①必修3如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间.三、拓展创新，应用提高1.由函数图象说明函数的单调性.例1如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？巩固练习：教材第32页习题第1、2题.2.利用函数单调性定义证明函数的单调性.例2物理学中的玻意耳定律P=Vk（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大.试用函数的单调性证明之.分析：按题意，只要证明函数P=Vk在区间（0，+∞）上是减函数即可.巩固练习：①教材第32页练习第3题；②证明函数xxy1在（1，+∞）上为增函数.3.判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1x2；②作差f（x1）－f（x2）；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；⑤下结论（即指出函数f（x）在给定区间D上的单调性）.巩固练习：①教材第32页练习第4题；②证明函数xxy1在（1，+∞）上为增函数.思考：画出反比例函数xy1的图象.教师备课系统──多媒体教案4①这个函数的定义域是什么？②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论.四、小结1.函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明.求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论2.学生思考：①通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？②增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？③怎样用定义证明函数的单调性？课堂作业：教材第39页习题（A组）第1-5题.习题（B组）1、3题思考题：设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y），①求f（0）、f（1）的值；②若f（3）=1，求不等式f（x）+f（x-2）1的解集.第2课时教学目标一、知识与技能1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.二、过程与方法通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识.三、情感、态度与价值观利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性.教学重点、难点教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义.教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值.教法与学法导航教学方法：启发引导.学习方法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤.教学过程一、创设情境，导入新课人教版新课标普通高中◎数学①必修5画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：①说出y=f（x）的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；②指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）32)(xxf，]2,1[x；（2）12)(2xxxf，]2,2[x.二、主题探究，合作交流1.最大值一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M那么，称M是函数y=f（x）的最大值（MaximumValue）.2.（学生活动）：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f（x）的最小值（MinimumValue）的定义.注意：①函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f（x0）=M；②函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）.2.利用函数的单调性判断函数的最大（小）值的方法①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；②利用图象求函数的最大（小）值；③利用函数单调性求定义在区间[a，b]上函数的最大（小）值.如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）.三、拓展创新，应用提高例1（教材第30页例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值.说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值.巩固练习：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y.试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2（教材第31页例4）求函数12xy在区间[2，6]上的最大值和最小值.25教师备课系统──多媒体教案6解：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)－f(x2)2112122()22.11(1)(1)xxxxxx因为2≤x1x2≤6，所以x2-x10，(x1-1)(x2-1)0，于是f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以函数2()1fxx在[2,6]上是减函数.因此，函数2()1fxx在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即当x=2时取得最大值，最大值是2，当x=6时取得最小值，最小值是0.4.注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式.练习：求函数21yxx的最小值.四、小结求函数最值的常用方法有：（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值；（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值；（4）函数的单调性法：一般是先根据图象判断，再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论.课堂作业1.教材第39页A组第5题.2.求函数223yxxx当自变量在下列范围内取值时的最值.①10x；②03x.3.快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45km/h和15km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？ABCD人教版新课标普通高中◎数学①必修7教案B第1课时教学目标一、知识与技能1.建立增（减）函数的概念：通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识.再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义.2.掌握用定义证明函数单调性的步骤；3.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛.二、过程与方法1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.三、情感、态度与价值观使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感.教学重点、难点教学重点：函数的单调性及其几何意义.教学难点：函数的单调性的应用.教学用具教学用具：多媒体教学过程一、创设情景，揭示课题思考：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：随着x的增大，y的值有什么变化？第1个函数：y随x的增大而增大（我们叫做函数是增函数）；第2个函数：当x-1或0x1时，y随x的增大而减小（我们叫做函数是减函数），当-1x0或x1时，y随x的增大而增大（我们叫做函数是增函数）.归纳：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映.yx1-11-1yx1-11-1教师备课系统──多媒体教案8这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）.二、研究探索，学习新知例1如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f（x），根据图象说出函数在哪些区间上是增函数，在哪些区间上是减函数？解：在[-2,1]，[3,5]上是增函数，在[-5,-2]，[1,3]上是减函数.研究