2019-2020学年度九年级数学讲义：反比例函数

第1页共10页2019-2020学年度九年级数学讲义：反比例函数【学习目标】1.理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2.能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3.会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．4.会解决一次函数和反比例函数有关的问题．【要点梳理】要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xyk，或表示为kyx，其中k是不等于零的常数.一般地，形如kyx(k为常数，0k)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：（1）在kyx中，自变量x是分式kx的分母，当0x时，分式kx无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0y.故函数图象与x轴、y轴无交点.（2）kyx()可以写成()的形式，自变量x的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时第2页共10页应特别注意系数这一条件.（3）kyx()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数kyx中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对xy、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：kyx(0k)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k的值；（4）把求得的k值代回所设的函数关系式kyx中.要点三、反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，第3页共10页永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：（1）若点(ab，)在反比例函数kyx的图象上，则点(ab，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k为常数，0k)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以O为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当0k时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k时，两支曲线分别位于第二、四象限内．3、反比例函数的性质（1）如图1，当0k时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小；第4页共10页（2）如图2，当0k时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.要点四：反比例函数()中的比例系数k的几何意义过双曲线xky(0k)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k.过双曲线xky(0k)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数的定义1、（2014春•惠山区校级期中）下列函数：①y=2x，②y=，③y=x﹣1，④y=．其中，是反比例函数的有（）.第5页共10页A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C；【解析】解：①y是x正比例函数；②y是x反比例函数；③y是x反比例函数；④y是x+1的反比例函数．故选：C．【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般(0kykx≠）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．类型二、确定反比例函数的解析式2、（2016春•大庆期末）已知y与x成反比例，且当x=﹣3时，y=4，则当x=6时，y的值为．【思路点拨】根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【答案】﹣2．【解析】解：设反比例函数为y=，当x=﹣3，y=4时，4=，解得k=﹣12．反比例函数为y=．当x=6时，y=﹣2，故答案为：﹣2．第6页共10页【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．举一反三：【变式】已知y与x成反比，且当6x时，4y，则当2x时，y值为多少？【答案】解：设kyx，当6x时，4y，所以46k，则k＝－24，所以有24yx．当2x时，24122y．类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数21ayx（a为常数）的图象上有三点(11xy，)，(22xy，)，(33xy，)，且1230xxx，则123yyy，，的大小关系是（）．A．231yyyB．321yyyC．123yyyD．312yyy【答案】D；【解析】解：因为221(1)0kaa，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，y随x的增大而增大．因为12xx，所以12yy．因为33(,)xy在第四象限，而11(,)xy，22(,)xy在第二象限，所以31yy．所以312yyy．【总结升华】已知反比例函数kyx，当k＞0，x＞0时，y随x的增大而减小，需要强调的是x＞0；当k＞0，x＜0时，y随x的增大而第7页共10页减小，需要强调的是x＜0．这里不能说成当k＞0，y随x的增大而减小．例如函数2yx，当x＝－1时，y＝－2，当x＝1时，y＝2，自变量由－1到1，函数值y由－2到2，增大了．所以，只能说：当k＞0时，在第一象限内，y随x的增大而减小．举一反三：【变式1】已知2(3)mymx的图象是双曲线，且在第二、四象限，(1)求m的值．(2)若点(－2，1y)、(－1，2y)、(1，3y)都在双曲线上，试比较1y、2y、3y的大小．【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130mm，∴1m.(2)由(1)得此函数解析式为：2yx．∵(－2，1y)、(－1，2y)在第二象限，－2＜－1，∴120yy．而(1，3y)在第四象限，30y．∴312yyy【变式2】（2014秋•娄底月考）对于函数y=，下列说法错误的是（）A.它的图象分布在一、三象限；B.它的图象与坐标轴没有交点；C.它的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；第8页共10页D.当x＜0时，y的值随x的增大而增大.【答案】D；解：A、k=2＞0，图象位于一、三象限，正确；B、因为x、y均不能为0，所以它的图象与坐标轴没有交点，正确；C、它的图象关于y=﹣x成轴对称，关于原点成中心对称，正确；D，当x＜0时，y的值随x的增大而减小，故选：D．类型四、反比例函数综合4、已知点A(0，2)和点B(0，－2)，点P在函数1yx的图象上，如果△PAB的面积是6，求P点的坐标．【思路点拨】由已知的点A、B的坐标，可求得AB＝4，再由△PAB的面积是6，可知P点到y轴的距离为3，因此可求P的横坐标为±3，由于点P在1yx的图象上，则由横坐标为±3可求其纵坐标．【答案与解析】解：如图所示，不妨设点P的坐标为00(,)xy，过P作PC⊥y轴于点C．∵A(0，2)、B(0，－2)，∴AB＝4．第9页共10页又∵0||PCx且6PABS△，∴01||462x，∴0||3x，∴03x．又∵00(,)Pxy在曲线1yx上，∴当03x时，013y；当03x时，013y．∴P的坐标为113,3P或213,3P．【总结升华】通过三角形面积建立关于0x的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．举一反三：【变式】已知：如图所示，反比例函数kyx的图象与正比例函数ymx的图象交于A、B，作AC⊥y轴于C，连BC，则△ABC的面积为3，求反比例函数的解析式．【答案】解：由双曲线与正比例函数ymx的对称性可知AO＝OB，则1322AOCABCSS△△．设A点坐标为(Ax，Ay)，而AC＝|Ax|，OC＝|Ay|，于是1113||||2222AOCAAAASACOCxyxy△，∴3AAxy，而由AAkyx得AAxyk，所以3k，第10页共10页所以反比例函数解析式为3yx．