高考数学专题——立体几何解答题-20191208134025

第1页（共12页）高考数学专题——立体几何解答题解答题（共22小题）1．如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，∠DAB＝60°，点E是AB的中点，点F是CD的中点，分别沿DE．BF将△ADE和△CBF折起，使得平面ADE∥平面CBF（点A、C在平面EFDE的同侧），连接AC、CE，如图2所示．（1）求证：CE⊥BF；（2）当AD＝2，且平面CBF⊥平面BFDE时，求三棱锥C﹣BEF的体积．第2页（共12页）2．如图，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2AD，E为AB中点，现将△ADE折起，使平面A1DE⊥平面BCDE，P是DE中点，Q是A1B的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面A1CD；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣Q的余弦值．3．如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB＝2CD＝2BC＝2，P为CE中点．（1）求证：AB⊥DE；（2）求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值．第3页（共12页）4．如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB＝2CD＝2BC＝2，P为CE中点．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在△ABE内是否存在一点Q，使PQ⊥平面CDE，如果存在，求PQ的长；如果不存在，说明理由．5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABD＝30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF∥BD，且BD＝2EF．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF；（Ⅱ）若二面角C﹣BF﹣D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．第4页（共12页）6．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝6，过A，B分别作CD的垂线，垂足分别为E，F，已知DE＝1，AE＝3，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得平面ADE⊥平面ABFE，平面ADE∥平面BCF，得到图2．（1）证明：BE∥平面ACD；（2）求三棱锥C﹣AED的体积．7．如图1，四边形ABCD为等腰梯形，AB＝2，AD＝DC＝CB＝1，将△ADC沿AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，E为AB的中点，连接DE，DB（如图2）．（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）求直线DE与平面BCD所成的角的正弦值．第5页（共12页）8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠C＝90°，AB＝2BC＝2CD＝2．E为AB中点．现将该梯形沿DE折叠．使四边形BCDE所在的平面与平面ADE垂直．（1）求证：BD⊥平面ACE；（2）求平面BAC与平面EAC夹角的大小．9．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠C＝90°，AB＝2BC＝2CD＝2．E为AB中点．现将该梯形沿DE析叠．使四边形BCDE所在的平面与平面ADE垂直．（1）求多面体ABCDE的体积；（2）求证：BD⊥平面ACE；（3）求平面BAC与平面EAC夹角的大小．第6页（共12页）10．如图（1），在边长为2的正方形ABCD中，E是边AB的中点．将△ADE沿DE折起使得平面ADE⊥平面BCDE，如图（2），F是折叠后AC的中点．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求二面角E﹣AB﹣D的平面角的余弦值．11．如图1所示，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E为CD的中点，沿AE将△AED折起，如图2所示，O、H、M分别为AE、BD、AB的中点，且DM＝2．（1）求证OH∥平面DEC；（2）求证平面ADE⊥平面ABCE；（3）求三棱锥H﹣OMB的体积．第7页（共12页）12．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE（如图2）．G为AE中点．（Ⅰ）求证：DG⊥平面ABCE；（Ⅱ）求四棱锥D﹣ABCE的体积；（Ⅲ）在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．第8页（共12页）13．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝4，CD＝3，E为AB中点，过E作EF⊥CD，垂足为F，（如图一），将此梯形沿EF折起，使得平面ADFE垂直于平面FCBE，（如图二）．（1）求证：BF∥平面ACD；（2）求多面体ADFCBE的体积．14．如图甲，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝2AB＝2BC＝4，过A点作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．取AD的中点F，连接BF，CF，EF，如图乙．（1）求证：BC⊥平面DEC；（2）求三棱锥E﹣FBC的体积．第9页（共12页）15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD＝4，E为AB的中点．将△BCE沿CE折起，使点B到达点F的位置，且平面CEF与平面ADCE所成的二面角为60°．（1）求证：平面CEF⊥平面AEF；（2）求直线DF与平面CEF所成角的正弦值．16．如图，在矩形ABCD中．AB＝2AD＝4，E为AB的中点．将△ADE沿直线DE折起到△PDE的位置，使得平面PDE⊥平面BCDE．（1）证明：CE⊥PD；（2）若点F，M分别为PC，DE的中点，求直线MF与平面PCD所成角的正弦值．第10页（共12页）17．如图I，平面四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝150°，AB＝AD＝2BC＝4，把△ABD沿直线BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，连接AC得到如图II所示四面体A﹣BCD．设点O，E，F分别是BD，AB，AC的中点．连接CE，BF交于点G，连接OG．（1）证明：OG⊥AC；（2）求二面角B﹣AD﹣C的大小．18．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2CD＝4，AD＝2，过点C作CO⊥AB，垂足为O，将△OBC沿CO折起，如图2使得平面CBO与平面AOCD所成的二面角的大小为θ（0＜θ＜π），E，F分别为BC，AO的中点（1）求证：EF∥平面ABD（2）若θ＝，求二面角F﹣BD﹣O的余弦值．第11页（共12页）19．如图，已知四边形ABCD是边长为4cm的正方形，直线AD垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点E是该圆上异于A，B的一点，连接AE、BE、DE、CE．（1）求证：平面ADE⊥平面BCE；（2）若∠BAE＝30°，求几何体CD﹣ABE的体积．20．如图（1），矩形ABCD中，AB＝2AD，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE．且在射线CE上取一点M，使EM＝AB，如图（2），求证：DE⊥平面ADM．第12页（共12页）21．如图1所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝8，CD⊥BC，O为AB的中点．将四边形OBCD沿OD折起，使平面OBCD⊥平面ODA，如图2，点E，F分别为CD，OA的中点．（1）求证：DF∥平面AEB；（2）线段AD上是否存在一点M，使BM与平面AEB所成的角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．22．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AD＝1，AB＝2，CD＝3，F为AB中点，且EF∥AD．将梯形沿EF折起，使得平面ADEF⊥平面BCEF．（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；（Ⅱ）求CE与平面BCD所成角的正弦值．第1页（共20页）高考数学专题——立体几何解答题参考答案与试题解析解答题（共22小题）1．如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，∠DAB＝60°，点E是AB的中点，点F是CD的中点，分别沿DE．BF将△ADE和△CBF折起，使得平面ADE∥平面CBF（点A、C在平面EFDE的同侧），连接AC、CE，如图2所示．（1）求证：CE⊥BF；（2）当AD＝2，且平面CBF⊥平面BFDE时，求三棱锥C﹣BEF的体积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝2AD，∠DAB＝60°，点F是CD的中点，∴CF＝CB，又∠FCB＝60°，∴△CBF为等边三角形，连接EF，由BF＝CB＝BE，∠EBF＝∠CFB＝60°，得△BEF为等边三角形．取BF的中点O，连接OC，OE，则CO⊥BF，EO⊥BF．∴BF⊥平面COE，则BF⊥CE；（2）解：由（1）知，CO⊥BF，又平面CBF⊥平面BFDE，则CO⊥平面BFDE，又OE⊥BF，∵AD＝2，AB＝2AD＝4，∠DAB＝60°，∴CO＝，S．∴三棱锥C﹣BEF的体积V＝．2．如图，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2AD，E为AB中点，现将△ADE折起，使平面A1DE⊥平面BCDE，P是DE中点，Q是A1B的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面A1CD；第2页（共20页）（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣Q的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取A1C的中点R，连接QR，DR．由题意知PD∥BC且PD＝BC，QR∥BC且QR＝BC，所以PD∥QR且PD＝QR，即四边形PDQR是平行四边形，所以PQ∥DR．又PQ⊄平面A1CD，DR⊂平面A1CD，所以PQ∥平面A1CD．…（5分）（Ⅱ）解：连接A1P，BP，设M是PB的中点，连接QM．因为A1P⊥DE，平面A1DE⊥平面BCD所以A1P⊥平面BCDE又QM∥A1P，所以QM⊥平面BCDE，过M作MH⊥PC，连接QH，则∠QHM是二面角B﹣PC﹣Q的平面角，…（10分）设CD＝a，则A1P＝a，所以QM＝a，在四边形DECB中，因为BC⊥CP，所以HM∥CB，又M是PB中点，所以HM＝所以HQ＝a，所以cos∠QHM＝＝所以二面角B﹣PC﹣Q的平面角的余弦值是．…（15分）3．如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB＝2CD＝2BC＝2，P为CE中点．（1）求证：AB⊥DE；第3页（共20页）（2）求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取AB的中点O，连结OD，OE，∵△ABE是等边三角形，∴AB⊥OE，∵CD∥OB，CD＝AB＝OB，BC⊥AB，∴四边形OBCD是正方形，∴AB⊥OD，又OD⊂平面ODE，OE⊂平面ODE，OD∩OE＝O，∴AB⊥平面ODE，又DE⊂平面ODE，∴AB⊥DE．（2）解：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，OD⊂平面ABCD，∴OD⊥平面ABE，以O为原点，以OA，OE，OD为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：则A（1，0，0），B（﹣1，0，0），D（0，0，1），E（0，，0），C（﹣1，0，1），∴＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，，0），＝（0，0，1），＝（1，，0），设平面ADE的法向量为＝（x，y，z），则，即，令y＝1得＝（，1，），同理可得平面CE的法向量为＝（，﹣1，0），∴cos＜＞＝＝＝．∴平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为．4．如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB＝2CD＝2BC＝2，P为CE中点．第4页（共20页）（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在△ABE内是否存在一点Q，使PQ⊥平面CDE，如果存在，求PQ的长；如果不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结OD，OE，…（1分）因为△ABE是正三角形，所以AB⊥OE．因为四边形ABCD是直角梯形，，AB∥CD，所以四边形OBCD是平行四边形，OD∥BC，又AB⊥BC，所以AB⊥OD．所以AB⊥平面ODE，…（3分）所以AB⊥DE．…（4分）（Ⅱ）解：因为平面ABCD⊥平面ABE，AB⊥OE，所以OE⊥平面ABCD，所以OE⊥OD．…（5分）如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），B（﹣1，0，0），D（0，0，1），C（﹣1，0，1），．所以，，…（6分）设平