上海市高一(上)期中数学试卷(解析版)

第1页（共15页）2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．已知全集U=R，，则A∩∁UB=．2．若函数，则f（x）•g（x）=．3．函数y=的定义域是．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为．5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是．7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是．8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是．9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是．第2页（共15页）11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为．二、选择题12．给出下列命题：（1）∅={0}；（2）方程组的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，则A=C；（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁UB．其中正确命题的个数有（）A．1B．2C．3D．413．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3D．a≥4或a＜﹣315．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]三、解答题（8+8+10+14分）16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．第3页（共15页）17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x0+1）≤f（x0）f（1）成立；（1）请给出一个x0的值，使函数；（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x0组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数，求实数a的取值范围．第4页（共15页）2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．已知全集U=R，，则A∩∁UB={0}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】先确定集合A={0，3}，再确定CUB={x|x≤}，最后根据交集定义运算得出结果．【解答】解：因为A={x|x2﹣3x=0}={0，3}，而B={x|x＞}，且U=R，所以，CUB={x|x≤}，所以，{x|x≤}∩{0，3}={0}，即A∩CUB={0}，故答案为：{0}．【点评】本题主要考查了集合间交集，补集的混合运算，涉及一元二次方程的解法，交集和补集的定义，属于基础题．2．若函数，则f（x）•g（x）=x（x＞0）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可．【解答】解：函数，则f（x）•g（x）==x，x＞0．故答案为：x（x＞0）．【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．第5页（共15页）3．函数y=的定义域是{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用分母不为0，开偶次方被开方数方法，列出不等式组求解可得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，可得：，解得：﹣1≤x＜1或1＜x≤4．函数的定义域为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．故答案为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【点评】本题考查函数的定义域的求法，是基础题．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为（﹣∞，]．【考点】其他不等式的解法．【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，代入要解的不等式可得．【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），∴a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，∴不等式bx﹣a≥0可化为2ax﹣a≥0，两边同除以a（a＜0）可得2x﹣1≤0，解得x≤故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查不等式的解集，得出a的正负是解决问题的关键，属基础题．5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是[﹣7，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．第6页（共15页）【分析】求得二次函数的对称轴，由题意可得≤，求得a的范围，再由不等式的性质，可得f（2）的范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴为x=，由题意可得≤，解得a≤2，则f（2）=4﹣2（a﹣1）+5=11﹣2a≥﹣7．故答案为：[﹣7，+∞）．【点评】本题考查二次函数的单调性的运用，考查不等式的性质，属于中档题．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是[3，+∞）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合B，再利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}={x|m﹣1≤x≤m+1}，A∩B=B，∴m﹣1≥2，解得m≥3，∴实数m的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”．【考点】四种命题．【专题】演绎法；简易逻辑．【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”，故答案为：“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的概念，是解答的关键．第7页（共15页）8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（0，1）∪（2，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系先求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，则函数f（x）对应的图象如图：即当x＞1或x＜﹣1时，f（x）＞0，当0＜x＜1或﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价为或，即或，即或，即x＞2或0＜x＜1，即不等式的解集为（0，1）∪（2，+∞），故答案为：（0，1）∪（2，+∞）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集是解决本题的关键．第8页（共15页）9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1]．【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】先利用f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，得到f（2）=f（﹣2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，导出﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，∴f（2）=f（﹣2）=1；∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤x+a≤2，即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，∴﹣1≤a≤1，第9页（共15页）故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为3．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：解：∵x2﹣2x+3=（2x2﹣6x+9）=[（x﹣3）2+x2]≥，令n2﹣2n+3=n，得2n2﹣9n+9=0，解得n=（舍去），n=3；令x2﹣2x+3=3，解得x=0或3．取m=0．∴m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于基础题．二、选择题12．给出下列命题：（1）∅={0}；（2）方程组的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，则A=C；（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁UB．其中正确命题的个数有（）A．1B．2C．3D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合．第10页（共15页）【分析】由集合间的关系判断（1）；写出方程组的解集判断（2）；由A∪B=B∪C，可得A=C或A、C均为B的子集判断（3）；画图说明（4）正确．【解答】解：（1）∅⊆{0}．故（1）错误；（2）方程组的解集是{（1，﹣2）}．故（2）错误；（3）若A∪B=B∪C，则A=C或A、C均为B的子集．故（3）错误；（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，如图，则A⊆∁UB．故（4）正确．∴正确命题的个数是1个．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了集合的表示法及集合间的关系，是基础题．13．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；判别式法；简易逻辑．【分析】一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△＜0．解出即可判断出．【解答】解：若一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△=a2﹣4＜0．解得﹣2＜a＜2．∴“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第11页（共15页）14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3D．a≥4或a＜﹣3【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题