初二直角三角形复习同步讲义

1授课类型T(知识点梳理)C直角三角形的复习T（学法与能力主题）授课日期及时段教学内容一、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半二、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形三、勾股定理和它的逆定理：1、勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形注意：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、、2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图）3、在Rt三角形中，30°的边所对的角是斜边的一半。（请画图）4、直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形边角线判定2直角三角形222cba两锐角互余CD=AD=BD(斜边上的中线等于斜边的一半)应用：①斜边上的中线把Rt△分成两等腰三角形；②等腰Rt△斜边上的中线把它分为两个全等的等腰Rt△。①若∠A+∠B=90°，则△ABC为Rt△;②若222cba，则△ABC为Rt△;③若CD=AD=BD，则△ABC为Rt△;黄金直角三角形2:3:1::cba等腰直角三角形2:1:1::cba四、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在注意：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合。2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】1、了解逆命题和逆定理的概念；2、掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半及30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质3、掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们进行简单的论证和计算；4、掌握角平分线的性质定理及其逆定理，线段中垂线性质定理及其逆定理。考点一：角的平分线例1如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是．思路分析：过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．解：如图，过D作DE⊥BC于E，3∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD=DE=3，∴△BDC的面积是12×DE×BC=12×10×3=15，故答案为：15．变式：1．如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=°．1．352．如图,在四边形ABCD中,BC=DC,AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,E、F为垂足,若AB=21,AD=9,BC=DC=10,求AC的长.考点二：垂直平分线（中垂线）1、如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC=．思路分析：先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB=OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC=∠C，然后根据角平分线的定义解答即可．解：∵AD⊥BC，∠AOC=125°，∴∠C=∠AOC-∠ADC=125°-90°=35°，∵D为BC的中点，AD⊥BC，∴OB=OC，∴∠OBC=∠C=35°，∵OB平分∠ABC，∴∠A∠=2∠OBC=2×35°=70°．故答案为：70°．变式：1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm2．C4DABCEDABC考点三：直角三角形的性质1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于()A.90°B.135°C.270°D.315°2、已知:如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D点,BD=12AC.则∠A=_____.3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为.4、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cmB．6cmC．32cmD．62cm思路分析：过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．解：如图，过点C作CD⊥AD，∴CD=3，在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，∴AC=2CD=2×3=6，又三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=6，∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，∴BC=62，故选：D．变式：1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=15°,AB=8cm，CD为AB的中线，求△ABC的面积。2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE⊥AB，已知AB=10cm，DE=2.5cm，求CD和∠DCE。1题图ADCB53、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．解答：解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠ABC=30°，即在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴BD=2CD=10cm（含30度角的直角三角形的性质），由勾股定理得：BC==5cm，∵∠A=30°，∠C=90°，∴AB=2BC=10cm，答：AB的长是10cm．4．如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为cm．5、已知:如图,AD为△ABC的高,E为AC上的一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,求证:BE⊥AC.考点四：勾股定理及逆定理1、如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?2、2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直AEDCBF126角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么2()ab的值为（）A．13B．19C．25D．1693．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于2π．解答：解：S1=πAC2，S2=πBC2，所以S1+S2=π（AC2+BC2）=πAB2=2π．故答案为：2π．4、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要10cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要或cm．考点：平面展开-最短路径问题．1741599分析：将长方体展开，根据两点之间线段最短，可知所用细线最短长度．7解答：解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB==10cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是8n和6，根据勾股定理可知所用细线最短需要==2cm．变式：1、如图网格中一个四边形ABCD，若小方格正方形的边长为1，则四边形ABCD的周长是_________。2、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．[来源:学#科#网]3．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于（）A4B5C6D144、如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？5、一艘货轮向正北方向航行，在A处测得灯塔M在北偏西30，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达Bl321S4S3S2S1东北FEAB8处，测得灯塔M在北偏西45，问该货轮到达灯塔正东方D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？（结果可用根号）考点五：直角三角形与等腰三角形的综合1、如图，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2．其中正确的是（B）A．②④B．①④C．②③D．①③2、已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF+S△CEF=S△ABC；（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．解答：解：（1）显然△AED，△DEF，△ECF，△BDF都为等腰直角三角形，且全等，则S△DEF+S△CEF=S△ABC；（2）图2成立；图3不成立．图2证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，又∵∠C=90°，∴DM∥BC，DN∥AC，9∵D为AB边的中点，由中位线定理可知：DN=AC，MD=BC，∵AC=BC，∴MD=ND，∵∠EDF=90°，∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°，∴∠MDE=∠NDF，在△DME与△DNF中，∵，∴△DME≌△DNF（ASA），∴S△DME=S△DNF，∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF，由以上可知S四边形DMCN=S△ABC，∴S△DEF+S△CEF=S△ABC．图3不成立，连接DC，证明：△DEC≌△DBF（ASA，∠DCE=∠DBF=135°）S△DEF=S△DBF+S四边形DBFE，=S△DEC+S四边形DBFE，=S五边形DBFEC，=S△CFE+S△DBC，=S△CFE+，∴S△DEF﹣S△CFE=．故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF=S△ABC．变式：1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E为斜边BC上两点（不与B、C重合），且∠DAE=45°，把△ABD沿着AD折叠，得到△ADF．那么正确结论有（C）①△DEF是直角三角形；②△AFE≌△ACE；③BD+EC＞DE；④AF是∠BAC的平分线．A．1个B．2个C．3个D．4个2、如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP．当∠