圆锥曲线(求轨迹方程)

专题圆锥曲线（求轨迹方程）求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系或F(x，y)＝0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入转移法（相关点法）：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程．1．一个区别——“轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的．前者只须求出轨迹的方程，标出变量x，y的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据．2．双向检验——求轨迹方程的注意点求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．考向一直接法求轨迹方程【例1】　已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．【解】　(1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ，整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．(2)①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)．④当λ＜－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．【对点练习1】已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2＝λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)A．圆　　B．椭圆　　C．抛物线　　D．双曲线【解析】以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(－a,0)，B(a,0)，则N(x,0)．因为2＝λ·，所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，当λ＝1时，是圆的轨迹方程；当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程；当λ＝0时，是直线的轨迹方程．综上，方程不表示抛物线的方程．【答案】　C考向二定义法求轨迹方程【例2】已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．【解】　如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝3.∴点M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝.∴点M的轨迹方程为－＝1.【对点练习2】如图881所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2,0)，图881分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．(1)△PAB的周长为10；(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．【解】(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6＞4＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝.因此其轨迹方程为＋＝1(y≠0)．(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，因此|PA|－|PB|＝1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1,2c＝4，即a＝，c＝2，b＝，因此其轨迹方程为4x2－y2＝1.(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.因此其轨迹方程为y2＝－8x.图882考向三代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图882所示，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．【解】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得∵P在圆上，∴x2＋2＝25，即C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝，x2＝.∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝＝.图885【对点练习2】(2014·合肥模拟)如图885所示，以原点O为圆心的两个同心圆的半径分别为3和1，过原点O的射线交大圆于点P，交小圆于点Q，P在y轴上的射影为M.动点N满足＝λ且·＝0.(1)求点N的轨迹方程；(2)过点A(0,3)作斜率分别为k1，k2的直线l1，l2与点N的轨迹分别交于E，F两点，k1·k2＝－9.求证：直线EF过定点．【解】(1)由＝λ且·＝0可知N，P，M三点共线且PM⊥QN.过点Q作QN⊥PM，垂足为N，设N(x，y)，∵|OP|＝3，|OQ|＝1，由相似可知P(3x，y)．∵P在圆x2＋y2＝9上，(3x)2＋y2＝9，即＋x2＝1.所以点N的轨迹方程为＋x2＝1.(2)证明：设E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，由⇒(k＋9)x2＋6k1x＝0，①解得x＝0或x＝－.所以xE＝－，yE＝k1＋3＝，∴E.∵k1k2＝－9，∴k2＝－.用k2＝－替代①中的k1，同理可得F.显然E，F关于原点对称，∴直线EF必过原点O.【达标训练】一、选择题1．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线2．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)A．双曲线　　　　　B．椭圆C．圆D．抛物线3．(2014·天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)A．直线　　B．椭圆　　C．圆　　D．双曲线4．(2014·合肥模拟)如图884所示，A是圆O内一定点，B是圆周上图884一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E，则点E的轨迹是(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线5．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　)A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)6．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是(　　)A．y＝2x2B．y＝8x2C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋1二、填空题7．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程是_______________________．8．动圆与⊙C1：x2＋y2＝1外切，与⊙C2：x2＋y2－8x＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹是_______________________．9．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为_______________________．10.(2014·佛山模拟)在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a＞0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是_____________．三、解答题11．已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于P，Q两点，交直线l1于点R，求·的最小值．12．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足∥，·＝·，M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．13．(2013·课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．【达标训练】参考答案一、选择题1．A.【解析】∵·＝0，∴PM⊥PN，∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．2．D.【解析】由已知：|MF|＝|MB|，由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．3．A．【解析】设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即解得又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A.4．B．【解析】由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r＞|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.5．A.【解析】设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)，则＝(x，y－yB)，＝(xA－x，－y)，∵＝2，∴即∴A，B(0,3y)．又Q(－x，y)，∴＝(－x，y)，＝，∴·＝x2＋3y2＝1，则点P的轨迹方程是x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．6．C．【解析】设AP中点M(x，y)，P(x′，y′)，则x＝，y＝，∴代入2x2－y＝0，得2y＝8x2－1，故选C.二、填空题7．y2＝8x。【解析】＝－(－2，y)＝，＝(x，y)－＝，∵⊥，∴·＝0，∴·＝0，即y2＝8x.∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.8．以C1，C2为焦点的双曲线的右支。【解析】⊙C2的圆心为C2(4,0)，半径为2，设所求动圆的圆心为M，半径为r，因为动圆与⊙C1外切，又与⊙C2内切，所以r＞2，|MC1|＝r＋1①，|MC2|＝r－2②.由①－②得|MC1|－|MC2|＝3＜|C1C2|＝4.根据双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支．9．(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．【解析】设A(x，y)，则D，∴|CD|＝＝3，化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，∴A不能落在x轴上，即y≠0.10.【答案】－＝1(x＞0且y≠0).【解析】由正弦定理：－＝×，即|AB|－|AC|＝|BC|，故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支．三、解答题11．【解】(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴动点C的轨迹方程为x2＝4y.(2)由题意知，直线l2的方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.又易得点R的坐标为，∴·＝·＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4＝4＋8.∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取等号，∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.12．【解】(1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)．又A(0，－1)，所以＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)，＝(x，－2)．再由题意可知(＋)·＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0，所以曲线C的方程为y＝x2－2.(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝x2－2上一点，因为y′＝x，所以l的斜率为x0.因此直线l