新教材高中数学2.3(第2课时)一元二次不等式的应用讲义新人教A版必修第一册

-1-第2课时一元二次不等式的应用学习目标核心素养1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点).2.理解三个“二次”之间的关系.3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点).1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式ax＋bcx＋d＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)法一：ax＋b＞0＜0cx＋d＞0或ax＋b＜0＞0cx＋d＜0法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)ax＋bcx＋d≥0(≤0)法一：ax＋b≥0≤0ax＋d＞0或ax＋b≤0≥0cx＋d＜0法二：ax＋bcx＋d≥0≤0cx＋d≠0ax＋bcx＋d＞kk≥k≤k(其中k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式思考1：x－3x＋20与(x－3)(x＋2)0等价吗？将x－3x＋20变形为(x－3)(x＋2)0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件不等式ax2＋bx＋c0ax2＋bx＋c0-2-a＝0b＝0，c0b＝0，c0a≠0a0Δ0a0Δ0(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法设二次函数y＝ax2＋bx＋c若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．(3)解不等式(或求函数最值)．(4)回扣实际问题．思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝xx－2x≤0，则A∩B等于()A．{x|－1≤x0}B．{x|0x≤1}C．{x|0≤x2}D．{x|0≤x≤1}B[∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0x≤2}，∴A∩B＝{x|0x≤1}．]2．不等式x＋1x≥5的解集是________．x0x≤14[原不等式⇔x＋1x≥5xx⇔4x－1x≤0⇔x4x－1≤0，x≠0，解得0x≤14.]3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．a＞4或a＜－4[∵x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，解得，a＞4或a＜－4.]4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________．{x|10≤x≤30}[设矩形高为y，由三角形相似得：x40＝40－y40，且x0，y0，x40，y40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.]-3-分式不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)x－3x＋20；(2)x＋12x－3≤1.[解](1)x－3x＋20⇔(x－3)(x＋2)0⇔－2x3，∴原不等式的解集为{x|－2x3}．(2)∵x＋12x－3≤1，∴x＋12x－3－1≤0，∴－x＋42x－3≤0，即x－4x－32≥0.此不等式等价于(x－4)x－32≥0且x－32≠0，解得x32或x≥4，∴原不等式的解集为xx32或x≥4.1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．1．解下列不等式：(1)x＋1x－3≥0；(2)5x＋1x＋13.-4-[解](1)根据商的符号法则，不等式x＋1x－3≥0可转化成不等式组x＋1x－3≥0，x≠3.解这个不等式组，可得x≤－1或x3.即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x3}．(2)不等式5x＋1x＋13可改写为5x＋1x＋1－30，即2x－1x＋10.可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)0，解得－1x1.所以，原不等式的解集为{x|－1x1}．一元二次不等式的应用【例2】国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.[思路点拨]将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8－x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(1＋2x%)吨，“原计划的78%”即为2400m×8%×78%.[解]设税率调低后“税收总收入”为y元．y＝2400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－1225m(x2＋42x－400)(0x≤8)．依题意，得y≥2400m×8%×78%，即－1225m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.根据x的实际意义，知x的范围为0x≤2.求解一元二次不等式应用问题的步骤-5-2．某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解]设花卉带的宽度为xm(0x600)，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为0＜x≤100.不等式恒成立问题[探究问题]1．若函数y＝ax2＋2x＋2对一切x∈R，f(x)0恒成立，如何求实数a的取值范围？提示：若a＝0，显然y0不能对一切x∈R都成立．所以a≠0，此时只有二次函数y＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则a＞0，Δ＝4－8a0，解得a12.2．若函数y＝x2－ax－3对－3≤x≤－1上恒有x2－ax－30成立，如何求a的范围？提示：要使x2－ax－30在－3≤x≤－1上恒成立，则必使函数y＝x2－ax－3在－3≤x≤－1上的图象在x轴的下方，由y的图象可知，此时a应满足－32＋3a－3＜0，－12＋a－3＜0，即3a＋60，a－20，解得a－2.故当a＜－2时，有f(x)0在－3≤x≤－1上恒成立．3．若函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意－3≤a≤1时，y0恒成立，如何求x的取值范围？提示：由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数f(x)转化为关于自变量-6-是a的函数，求参数x的取值问题，则令y＝2x·a＋x2－4x＋4.要使对任意－3≤a≤1，y0恒成立，只需满足2x＋x2－4x＋4＜0－3×2x＋x2－4x＋4＜0，即x2－2x＋40，x2－10x＋40.因为x2－2x＋40的解集是空集，所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意－3≤a≤1，y0恒成立．【例3】已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．[思路点拨]对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解]设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x＝－a2－2，即a4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤73，与a4矛盾，不符合题意．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.(3)当－a22，即a－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a－4.综上，a的取值范围为－7≤a≤2.1．(变结论)本例条件不变，若y＝x2＋ax＋3－a≥2恒成立，求a的取值范围．[解]若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥2恒成立可转化为：当－2≤x≤2时，ymin≥2⇔－a2－2，ymin＝－22－2a＋3－a＝7－3a≥2，或－2≤－a2≤2，ymin＝－a22＋a·－a2＋3－a＝3－a－a24≥2，-7-或－a22，ymin＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥2，解得a的取值范围为－5≤x≤－2＋22.2．(变条件)将例题中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0恒成立”变为“不等式x2＋2x＋a2－30的解集为R”，求a的取值范围．[解]法一：∵不等式x2＋2x＋a2－30的解集为R，∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，∴Δ＝4－4(a2－3)0，解得a2或a－2.法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－30的解集为R，则a满足ymin＝a2－40，解得a2或a－2.法三：由x2＋2x＋a2－30，得a2－x2－2x＋3，即a2－(x＋1)2＋4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a24，故a2或a－2.1．不等式ax2＋bx＋c0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c0；当a≠0时，a0，Δ0.2．不等式ax2＋bx＋c0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c0；当a≠0时，a0，Δ0.3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：(1)若f(x)有最大值f(x)max，则af(x)恒成立⇔af(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则af(x)恒成立⇔af(x)min.3．在某集合A中恒成立问题-8-设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)若ax2＋bx＋c＞0在集合A中恒成立，则集合A是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围).1．思考辨析(1)不等式1x1的解集为x1.()(2)求解max2＋bx＋c(a＜0)恒成立时，可转化为求解y＝ax2＋bx＋c的最小值，从而求出m的范围．()[提示](1)1x1⇒1x－10⇒x－1x0⇒{x|0x1}．故(1)错．(2)max2＋bx＋c(a＜0)恒成立转化为mymax，故(2)错．[答案](1)×(2)×2．不等式x＋1x＋22x＋3x＋40的解集为________．{x|－4x－3或x－1}[原