高等数学-向量及运算-点积叉积

1第七章空间解析几何一、空间直角坐标系二、向量及其应用数量积、向量积ⅦⅡⅢⅥxyzⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.•坐标原点•坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点O,•坐标面•卦限(八个)1.空间直角坐标系的基本概念ⅠO面xOy面yOzzOx面在直角坐标系下xyz向径11坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组),,(zyx11)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR),,0(zyB(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);rOr)0,,(yxAM),0,(zxC坐标轴:轴x00zy00xz轴y轴z00yx坐标面:面yox0z面zoy0x面xoz0yxyzO表示法:向量的模:向量的大小,,21MM记作二、向量及其应用向量:(又称矢量).1M2M既有大小,又有方向的量称为向量自由向量:与起点无关的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,,a或.a或记作e或e.或a..00或，记作(一).向量的概念零向量的方向是任意的.规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;2(二).向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaabcbacb)(cbacba)(aababacbas3a4a5a2a1a54321aaaaas2.向量的减法三角不等式ab)(ab有时特别当,abaa)(aababaabababa0baba可见aa1;1aa3.向量与数的乘法是一个数,规定:时，0,0时,0时总之:运算律:结合律分配律因此，同向与aa与a的乘积是一个新向量,记作.a;aa，反向与aa;aa.0aaa)(aa)(aa)(aaba)(ba,0a若ae则有单位向量.1aaaeaa设(为唯一实数)a∥bab注：为非零向量,则a(三).向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M,),,(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量,},,{zyxxOyzMNBCA,,,,,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r可用向径OM表示.NMONOMOCOBOA记,ixOA,jyOBrkzjyix称为向量,,kzOCkzjyixrikjr.,,的坐标称为向量rzyx利用坐标作向量的线性运算则),,(zzyyxxbababa),,(zyxaaaxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数设),,,(zyxaaaa,),,(zyxbbbbbaa,0时当aabab3向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式222zyx则有222OROQOPxOyzMNQRP由勾股定理得),,(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),,(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与,),,(222zyxB,rOM作NMONBABAOAOBBA),,,(zyxr设OMrOMrOROQOPOyzx2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,OAB称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.cos222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦.,aOA作,bOB,,baba,,0),,(zyxr给定r称,,ba记作rxrab,或Oyzxrcos222zyxxcos222zyxycos222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:)cos,cos,(cosrxryrzrrer:的单位向量向量ruOuuaa)(jPr或记作M3.向量在轴上的投影Oua则a在轴u上的投影为例如,),,(zyxaaaa在坐标轴上的投影分别为设a与u轴正向的夹角为,M,即cos)(aaucosazyxaaa,,投影的性质2)1)(为实数)MMuuubaba)()()(uuaa定理1.的充要条件是证:那么由如果设A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z3)为两点，均非原点O,则OBOA,OBOAx1x2+y1y2+z1z2=0.OBOA、为邻边所确定的平行四边形所以对角向量BAOBOA和OCOBOA长度相同。即.||||OCBA},,,{212121zzyyxxBA而},,,{212121zzyyxxOC于是有221221221221221221)()()()()()(zzyyxxzzyyxxx1x2+y1y2+z1z2=0.（充分性倒推即可）为矩形。BAOCOAOBOABC(四)两向量的数量积1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积).bacosba的与为baba,4记作故abjrPb2.性质为两个非零向量,则有cosbbabaajrPbaaa)1(2aba,)2(0bababa0ba则2πba,0,0ba,0时当a上的投影为在ab,0,时当同理bbacosbabajrP||||||bababa//3.运算律(1)交换律(2)结合律),(为实数abbaba)()(ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3)分配律cbcacba事实上,当0c时,显然成立;时当0cc)(bababcjrPacjrPcbabacjrPccbaccjrPjrPacjrPcbcjrPccacb)(jrPbac4.数量积的坐标表示设则,10zzyyxxbababa当为非零向量时,ba,coszzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxiijjkkjikjikbabababa,两向量的夹角公式,得cos于是方向余弦为设kzjyixr显然i={1,0,0},k={0,0,1}.j={0,1,0},cos222zyxxcos222zyxycos222zyxzOyzxr||||riri||||rkrk||||rjrj={x,y,z}.(五)两向量的向量积二、三阶行列式22211211aaaa.21122211aaaa333231232221131211aaaaaaaaa11a33322322aaaa12a33312321aaaa13a32312221aaaa)(3223332211aaaaa)(3123332112aaaaa)(3122322113aaaaa322113312312332211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba思考:右图三角形面积abba21S＝两个向量的向量积52.性质为非零向量,则aa)1(0ba,)2(0baba∥(4)分配律(5)结合律abcba)(cbcaba)()(ba)(baba)3((6)ijk×=ijk×=ijk×=ijk)(kajaiazyx)(kbjbibzyx3.向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx例设A(1,-1,3),B(3,1,5),C(2,1,7),求△ABC的面积。ABCBAACS△ABC||21ACAB}.4,2,1{AC|}4,2,1{}2,2,2{|21},2,2,2{AB解：421222kjii4222j4122k2122|264|21kji14(六)向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAVcoscba)(,,,cba的为cba,,,Abaccba,,以则其cosbaccba)(cbabacba][cbazyxzyxbbbaaaxcyczckji2.混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba,),,(zyxaaaacbazyzybbaa,),,(zyxbbbb),,(zyxcccc,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc63.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是0(2)轮换对称性:][(可用三阶行列式推出)cbacba,,abc][abc][abcacb作业P2663,11,14,17,21