11均值不等式-习题-简单

第1页（共6页）均值不等式习题一、选择题（共14小题；共70分）1.已知，，且，则的最小值为()A.B.C.D.2.若，则的最小值为()A.B.C.√D.3.函数()取得最小值时的自变量等于()A.√B.√C.D.4.已知，且，则下列结论恒成立的是()A.√B.C.D.5.高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第层楼时，上下楼造成的不满意度为，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在()A.楼B.楼C.楼D.楼6.已知，且，则下列结论恒成立的是()A.√B.C.D.7.若，则函数的最小值是()A.B.C.D.8.以长为的线段为直径作半圆，则其内接矩形的面积的最大值为()A.B.C.D.9.若直线()过点()，则的最小值等于()A.B.C.D.10.若，均为大于的正数，且，则的最大值是()A.B.C.D.11.若实数，满足√，则的最小值为()A.√B.C.√D.12.有一长为的篱笆，要围一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为()A.B.C.D.第2页（共6页）13.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润（单位：万元）与营运年数（）为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大()A.B.C.D.14.某学生用一不准确的天平（两臂不等长）称药品，他先将的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品()A.小于B.大于C.大于等于D.小于等于二、填空题（共4小题；共20分）15.几个重要的不等式（1）④()，当且仅当时取等号．（2）()()，当且仅当时取等号．（3）()()，当且仅当时取等号．（4）（，同号），当且仅当时取等号．16.某学校拟建一块周长为的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，矩形的长应该设计为米．17.已知，均为正实数，且，则的最大值为．18.要挖一个面积为的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为，的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为、宽为．三、解答题（共2小题；共26分）19.将条件改为，求的最小值．20.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周的围墙建造单价为元/米，中间两道隔墙建造单价为元/米，池底建造单价为元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．第3页（共6页）（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该水池的长和宽都不能超过米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．第4页（共6页）第一部分1.C2.D3.A4.C【解析】因为和同号，所以．5.B6.C【解析】因为和同号，所以．7.D【解析】√√()()()，当且仅当时取等号．8.C9.C【解析】通解因为直线()过点()，所以，所以√√（当且仅当时取等号），所以√．又√（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号）．优解因为直线()过点()，所以，所以()()√（当且仅当时取等号）．10.B【解析】因为，，所以，．()()．当且仅当时取等号．11.B【解析】由题意得，，所以√√，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为．12.C13.C【解析】由题图可得营运总利润()，则营运的年平均利润，因为，所以√，当且仅当，即时取“”．所以时营运的年平均利润最大．14.B【解析】设左、右臂长分别为，，第一次称的药品为，第二次称的药品为，则有，，所以()()，即大于.第5页（共6页）第二部分15.16.【解析】设矩形的长为米，宽为米，则由题意得，则()，当且仅当时，等号成立，所以当矩形的面积最大时，矩形的长为米．17.【解析】√√，所以()，当且仅当，即{时，()．18.，．【解析】设鱼池的相邻两边长分别为，，则，所以()()√当且仅当，即，时，等号成立．第三部分19.因为，所以，所以()()√√当且仅当√时，取等号．20.（1）设污水处理池的宽为米，则长为米．总造价第6页（共6页）()()()√当且仅当()，即时取等号．所以当污水处理池的长为米，宽为米时总造价最低，最低总造价为元．（2）由限制条件知{，所以．设()()，则()，因为()在[]上恒大于零，故()在[]上是增函数，所以当时（此时），()取最小值，即()取最小值，为()．所以当污水处理池的长为米，宽为米时总造价最低，最低总造价为元．