行程问题——环形路(教师版)

一问数学让每个学生接受最优质的课外教育一问教育-1-行程问题——环形路（教师版）一、【本讲知识点】在环行道路上的行程问题本质上讲是追及问题或相遇问题。当二人（或物）同向运动就是追及问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。二、【本讲经典例题】【铺垫】如下图，两名运动员在沿湖周长为2250米的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，多少分钟后甲第1次追上乙？若两人同时同地反向出发，多少分钟后甲、乙第1次相遇？分析与解答：2250÷（250-200）=2250÷50=45（分钟），即45分钟后甲第1次追上乙；2250÷（250+200）=2250÷450=5（分钟），即5分钟后甲、乙第1次相遇.【例1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？（1）（2）分析与解答：根据图（1）用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差=跑道长。（250-200）×45=2250（米）。同理，在环形跑道上，若反向而行，从同一点出发两人相遇所经过的路程和=跑道长。如图（2），2250÷（250+200）=5（分钟）即经过5分钟两人相遇。【随堂练习1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，54分钟后甲追上乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？一问数学让每个学生接受最优质的课外教育一问教育-2-分析与解答：具体分析见例题。环形跑道周长：（250-200）×54=2700（米），两人相遇时间：2700÷（250+200）=2700÷450=6（分钟），即经过6分钟后两人相遇。【拓展】甲、乙两运动员在周长为400米环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米处。问几分钟后，甲第一次追上乙？分析与解答：具体分析过程略。15分钟。【铺垫】下图是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第1次相遇时，小军走了50米，当他们第2次相遇时，小军走了多少米？分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从1次相遇开始到第2次相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。所以，小军从开始到第2次相遇走了50米的3倍，即走了50×3=150（米）。【例2】如下图，是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第1次在C点相遇，C点离A点有50米；第二次在D点相遇，D离B有30米。问这个花园一周长多少米？分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从C点开始第2次在D点相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。小军从A→C→D走了50米的3倍，即走了50×3=150（米）。去掉BD之间的距离，就是半个圆周的长，所以一周的长度为（150-30）×2=240（米）。【随堂练习2】如下图，A、B是圆直径的两端点，亮亮在点A，明明在点B，相向而行。他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米。求圆的周长。分析与解答：具体分析过程见例题。440米。【拓展】如下图，在一圆形跑道上。小明从A点，小强从B点同时出发，相向行走。6分钟后，小明与小强相遇，再过4分钟，小明到达B点，又再过8分钟，小明与小强再次相遇。问：小明环行一周要多长时间？分析与解答：这是一个相遇问题，因为两人6分钟相遇，且再过4分钟小明到达B点，所以，小明走4分钟的路程相当于小强走6分钟的路程。从第一次相遇到再相遇小明走了4+8=12分钟，当然小强也走了12分钟，但他走的路程只相当于小明一问数学让每个学生接受最优质的课外教育一问教育-3-走8分钟的路程，再次相遇，一定是两人合走了一圈，因此小明走一圈需12+8=20分钟。【铺垫】如下图三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟17.5厘米。问：甲、乙两只爬虫多少分钟后第一次相遇？分析与解答：由题意可知，甲、乙爬虫第一次相遇走的距离是一周半，即210+210÷2=315厘米。所以第一次相遇所用时间为315÷（17.5+17.5）=9（分钟）。【例3】如下图三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟17.5厘米。问：甲、乙两爬虫多少分钟后第二次相遇？分析与解答：解法一：由“铺垫”知，甲、乙两爬虫第一次相遇用9分钟。又知甲、乙两爬虫从第一次相遇到第二次相遇又走了一个圆周。所以第一次相遇到第二次再相遇所用时间为：210÷（17.5+17.5）=210÷35=6（分钟）。即甲、乙两爬虫用15（9+6=15）分钟后第二次相遇。解法二：因为甲、乙两爬虫的速度一样，所以，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲、乙爬虫分别爬了45周，即210×45=262.5厘米。262.5÷17.5=15（分钟），即甲、乙两爬虫15分钟后第二次相遇。注：这种解法用到了小数和分数的乘除法知识，超出了五年级学生的认知水平。【随堂练习3】如下图，三个环形跑道相切排列。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟20厘米，甲、乙两只爬虫爬行20分钟后第二次相遇，问每个环形跑道的周长为多少厘米？分析与解答：甲、乙两爬虫第二次相遇总爬行的距离为：（20+20）×20=800（厘米）由题意及图可知：甲、乙两爬虫第二次相遇时，共爬行的距离为5个半周长。所以每个环形跑道的周长为：800÷5×2=320（厘米）。【拓展】如下图，三个环行跑道相切排列，每个环行跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，一问数学让每个学生接受最优质的课外教育一问教育-4-乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别是每分钟20、15厘米。问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米？分析与解答：具体分析过程略。300厘米。【铺垫】有一条长500米的环形跑道，小军从跑道上某一点出发逆时针跑步，他总共跑了5525米。问：小军是在离起点多少米处停下来的？分析与解答：因为5525÷500=11…25（米），所以5525米相当于11圈余25米，即小军是在离起点25米处停下来的。【例4】甲、乙从360米的环行跑道上的同一地点同向跑步。甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米。两人起跑后，第一次相遇在离起点多少米处？分析与解答：甲第一次追上乙需用时间360÷（305-275）=360÷30=12（分），第一次相遇甲跑的路程305×12=3660（米），3660米相当于10圈60米（3660÷360=10…60），所以第一次相遇在离起点60米处。【随堂练习4】甲、乙从1740米的环行跑道上的同一地点反向跑步。甲每分钟跑300米，乙每分钟跑280米。两人同时起跑后，第一次相遇在离起点多少米处？分析与解答：甲、乙第一次相遇用时间1740÷（300+280）=1740÷580=3（分钟），相遇时乙跑的路程280×3=840（米）。（注：椭圆上两点间的距离是短弧的长）所以第一次相遇离起点840米。【拓展】如下图，沿着长为70米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？分析与解答：由题意可知，这是乙追甲的追及问题。因此甲在乙前方70×3=210米。乙第一次追上甲时用时间：210÷（72-65）=210÷7=30（分钟）。乙追上甲时形的路程：72×30=2160（米）。2160=（4×7+2）×70+60（米），即，乙走了4圈后又跑了两条边BC、CD，在AD距D点60米处追上甲。故，乙第一次追上甲时是在AD边上。【铺垫】甲、乙两名运动员的速度和是800米/分，速度差是100米/分，且已知甲运动员比乙运动员跑得快，问甲、乙两名运动员的速度各是多少？分析与解答：甲运动员的速度：（800+100）÷2=450米/分，乙运动员的速度：（800-100）÷2=350米/分。【例5】有一条长500米的环行跑道。甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，反向而跑，1分钟后相遇；如果两人同向而跑，则10分钟后相遇。已知甲跑的比乙快。问甲、乙两人每分钟各跑多少米？分析与解答：甲、乙的速度和为500÷1=500米/分。甲、乙的速度差为500÷10=50米/分，所以甲的速度为（500+50）÷2=275米/分，乙的速度为500-275=225米/分。一问数学让每个学生接受最优质的课外教育一问教育-5-【随堂练习5】有一条沿湖的环行跑道长1120米。甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，如果同向而跑，25分钟相遇；如果两人反向而跑则2分钟后相遇。又已知乙比甲跑得快。问甲、乙每分钟各跑多少米？分析与解答：甲、乙两人的速度差1120÷28=40米/分，甲、乙两人的速度和1120÷2=560米/分.又因为乙比甲跑得快，所以，甲的速度：（560-40）÷2=260米/分；乙的速度：（560+40）÷2=300米/分.【拓展】一个圆的周长90厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点同时爬行，若反向而爬，10分钟后相遇；若同向而爬，90分钟后相遇。又已知甲爬虫比乙爬虫爬得快。问甲、乙两爬虫每秒钟各爬多少米？分析与解答：具体分析过程见例题。甲爬虫5厘米/秒，乙爬虫4厘米/秒。【铺垫】小明从A点出发，沿400米环行跑道行走，每分钟走80米，问小明第二次出现在A点时用多少分钟？（不算起始时在A点）分析与解答：小明第一次出现在A点用时间：400÷80=5（分钟），所以第二次出现在A点用时间：5×2=10（分钟），【例6】甲、乙两人同时从A点反向出发，沿400米环行跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两人至少用多少分钟再在A点相遇？分析与解答：甲第一次出现在A点用时间400÷80=5（分钟），以后每隔5分钟就会出现在A点一次；乙第一次出现在A点用时间400÷50=8（分钟），以后每隔8分钟就会出现在A点一次。如下表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次甲出现在A点时间（分）5101522025303540乙出现在A点时间（分）81624340485664由上表可知，当40分钟时，甲、乙同时第一次出现在A点。注：此题也可用最小公倍数的知识解答。【随堂练习6】有一条长480米的环行跑道，甲、乙两人同时从跑道上的A点同向出发行走，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米。这两人至少用多少分钟再在A点相遇？分析与解答：具体分析过程见例题。甲回到A点用的时间：480÷60=8（分钟）；乙回到A点用的时间：480÷80=6（分钟）。8和6的最小公倍数是24.故，这两个人至少24分钟用再在A点相遇。【拓展】有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟走70米。如果三个人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟后，三个人又可以相聚？分析与解答：设X分钟后，三人又可以相聚。由题意知，甲、乙相聚时，他们行走的路程差恰好是300米的整数倍，即（120－100）×X=300n（n是正整数）类似的有（120－70）×X=300m（m是正整数）（100－70）×X=300p（p是正整数）解得，