2019版高中全程复习方略配套课件：22函数的单调性与最值浙江专用-66页PPT文档

第二节函数的单调性与最值三年9考高考指数:★★★1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性；2.理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求函数的最大（小）值;3.会运用函数图象理解和讨论函数的性质.1.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或应用函数值大小，是高考的热点及重点.2.常与函数的图象及其他性质交汇命题.3.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现.1.增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1x2,则都有:(1)f(x)在区间D上是增函数⇔____________；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔____________.f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)【即时应用】(1)如果函数f(x)在［a,b］上是增函数，对于任意的x1、x2∈［a,b］(x1≠x2)，判断下列结论的真假．(在括号内填“真”或“假”)①()②(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］＞0；()③f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)；()④()1212f(x)f(x)0;xx1212xx0fxfx＞．(2)已知函数f(x)为R上的减函数，若mn,则f(m)______f(n);若f(|x|)f(1),则实数x的取值范围是______.(3)若函数y=ax与在(0，+∞)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+∞)上是______函数(填“增”或“减”).byx【解析】(1)当函数f(x)在［a,b］上是增函数时，对于任意的x1、x2∈［a,b］(x1≠x2)，能得出①②④真，③假．(2)由减函数的定义知，若mn,则f(m)f(n);若f(|x|)f(1),则|x|1,得:x1或x-1.(3)由y=ax在(0，+∞)上是减函数，知a＜0；由在(0，+∞)上是减函数，知b＜0．∴y=ax2+bx的对称轴又∵y=ax2+bx的开口向下,∴y=ax2+bx在(0，+∞)上是减函数．byxbx02a＜，答案：(1)①真②真③假④真(2){x|x1或x-1}(3)减2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D上是_______或_______，则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间．增函数减函数【即时应用】(1)定义在区间［-4，4］上的函数y=f(x)的图象如图，则函数在区间______上是减函数，在区间______上是增函数.(2)函数的单调减区间为______.1yx【解析】(1)由函数图象可知函数y=f(x)在区间［-4,-2］，［1,3］上是减函数，在区间［-2,1］，［3,4］上是增函数.(2)画出函数的图象可知，其单调减区间为(-∞,0),(0,+∞).答案：(1)［-4,-2］，［1，3］［-2，1］，［3,4］(2)(-∞,0)和(0,+∞)1yx3.函数的最大值、最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在M∈R,(1)满足以下条件,M是f(x)的最大值.①对任意x∈I,都有________;②存在x0∈I,使得________.(2)满足以下条件，M是f(x)的最小值.①对任意x∈I,都有________.②存在x0∈I,使得________.f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M【即时应用】(1)函数y=f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的定义域是______；最大值是______；最小值是______.(2)函数在［2,4］上的最小值是______；最大值是______.1fxx【解析】(1)由图象可知，函数的定义域为［-3,0］∪［2,3］，最大值为5，最小值为1.(2)因为在［2,4］上为单调增函数，所以f(2)≤f(x)≤f(4),所以答案：(1)［-3，0］∪［2，3］51(2)1fxxmaxmin11f(x)f4,f(x)f2.421124确定函数的单调性或单调区间【方法点睛】确定函数单调性及单调区间的常用方法及流程(1)能画出图象的函数，用图象法,其思维流程为:作图象看升降归纳单调性（区间）(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为：转化增+增=增减+减=减同增异减单调性（区间）(3)能求导的用导数法，其思维流程为：求导判断f′(x)正、负单调性（区间）(4)能作差变形的用定义法，其思维流程为：【提醒】确定函数的单调性(区间)，一定要注意定义域优先原则.取值作差变形定号单调性（区间）【例1】(1)(2019·江苏高考)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______.(2)判断函数在(-1，+∞)上的单调性.【解题指南】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间.(1)转化为基本初等函数的单调性去判断；(2)可用定义法或导数法.x2yx1【规范解答】(1)函数f(x)的定义域为(，+∞)，令t=2x+1(t0),因为y=log5t在t∈(0,+∞)上为增函数，t=2x+1在(，+∞)上为增函数，所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为(,+∞).答案：(，+∞)12121212(2)方法一：定义法：设x1x2-1,则∵x1x2-1,x2-x10,x1+10,x2+10,即y1-y20,y1y2.在(-1,+∞)上是减函数.方法二：导数法：∴在(-1，+∞)上，y′0,故在(-1,+∞)上为减函数.1221121212x2x2xxyy.x1x1x1x12112xx0,x1x1x2yx122x1x2x21y(),x1x1x1Qx2yx1【反思·感悟】判断(或证明)函数单调性(区间)，一定要先确定定义域，然后根据所给函数的结构特征及要求选择合适的方法求解，并且结果一定要写成区间的形式，当同增(减)区间不连续时，一般不能用并集符号连接.应用函数的单调性【方法点睛】应用函数的单调性可求解的问题(1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小；(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系；(3)求解析式中参数的值或取值范围；(4)求函数的最值；(5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.【例2】(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)f(m2)的实数m的取值范围是______.(2)已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在［0,2］上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.【解题指南】(1)根据f(x)的单调性，得到2-m与m2的大小关系，从而求解.(2)根据函数f(x)的性质先得到y=f(x)在［0,2］上的单调性或［-2,2］上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.【规范解答】(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)f(m2)，则有:2-mm2,即m2+m-20.解得:m-2或m1.所以m的取值范围为:(-∞,-2)∪(1,+∞).答案：(-∞,-2)∪(1,+∞)(2)方法一：因为y=f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图象关于直线x=0对称，∴函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称，又y=f(x-2)在［0,2］上单调递减,∴函数y=f(x-2)在［2,4］上单调递增，因此,y=f(x)在［0,2］上单调递增，又f(-1)=f(1),012,∴f(2)f(-1)f(0).方法二：由方法一可得函数y=f(x)在［-2,2］上图象的大致形状为由图象知f(2)f(-1)f(0).【反思·感悟】1.根据函数的单调性，解含有“f”号的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))f（h(x)）”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域.2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.求函数的最值【方法点睛】求函数最值的常用方法（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【例3】(1)已知函数则f(x)在［］上的最大值为______，最小值为______.(2)函数(x≥0)的最大值为______.(3)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为______.【解题指南】(1)可用单调性法；(2)选用换元法，转化为二次函数求解最值.(3)画出图象求解.11fxa0,x0,ax1,22yxx【规范解答】(1)∵在［］上为减函数，∴f(x)min=f(2)=f(x)max=(2)令则当时11fxax1,2211,a211f()2.2axtt0，2211ytt(t),241t2max1y.4，(3)由题意知函数f(x)是三个函数y1=2x，y2=x+2,y3=10-x中的较小者，作出三个函数在同一直角坐标系下的图象(如图实线部分为f(x)的图象)，可知A(4，6)为函数f(x)图象的最高点，则f(x)max=6.答案：1111(1)2(2)(3)6aa24【反思·感悟】求函数的最值常结合解析式的特点而选取适当的方法(1)单调性法：若所给函数在某个区间上单调性已知或能确定，则该函数在这个区间上的最值一般在端点处取得；(2)基本不等式法：当函数的解析式是分式形式且分子分母不同次幂时可用此法；（3）导数法：当函数解析式较复杂时，可考虑用此法；（4）数形结合法：所给函数易画出其图象时，可结合图象求最值；（5）对于一些根式、分式、高次式等常先用换元法，转化为以上四种情况中的某种再求最值.【易错误区】确定与应用分段函数单调性中的误区【典例】(2019·南京模拟)已知函数则满足不等式f(1-x2)＞f(2x)的x的取值范围是______.2x1,x0fx,1,x0＜【解题指南】可结合函数的图象以及f(1-x2)＞f(2x)的条件，得出1-x2与2x之间的大小关系，进而求得x的取值范围.也可分1-x2≥0，1-x20讨论求解.2x1x0fx1x0，，＜【规范解答】方法一：画出的图象，由图象可知，若f(1-x2)＞f(2x)，则即得2x1x0fx1x0，，＜221x01x2x＞，＞1x112x12＜＜，＜＜x(121).，xy1O方法二：当x=-1时，1-x2=0,则f(0)=1,f(-2)=1,无解;当-1x≤0时，1-x20,f(1-x2)f(2x)化为(1-x2)2+11，恒成立,当0x≤1时，1-x2≥0,2x0,原不等式化为(1-x2)2+1(2x)2+1,即(x+1)22,当1-x20时无解.综上知：答案:0x21.1x21.(121)，【阅卷人点拨】通过对阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：2x1,x0fx1,x01.(2019·新课标全国卷)下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)上单调递增的函数是()(A)y=x3(B)y=|x|+1(C)y=-x2+1(D)y=2-|x|【解析】选B.函数y=x3是奇函