勾股定理及其逆定理的综合应用

一、理清脉络构建框架勾股定理直角三角形边长的数量关系勾股定理的逆定理直角三角形的判定互逆定理a2+b2=c2形数a2+b2=c2三边a、b、cＲt△直角边a、b，斜边cＲt△互逆命题勾股定理:直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则有三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形;较大边c所对的角是直角.逆定理:a2+b2=c21、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是(）．A．6，7，8B．5，6，7C．4，5,6D．3，4，52.在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）如果a=3，b=4，则c=；（2）如果a=6，c=10，则b=；（3）如果c=13，b=12，则a=；3、在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）A．BC2=AB2+AC2;B．AB2=AC2+BC2;C．AB2=BC2-AC2;D．AC2=BC2-AB24、已知直角三角形的两边长为3、2，则第三条边长是．二、复习巩固第一组练习:勾股定理的直接应用1.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对第二组练习:用勾股定理解决简单的实际问题2.如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？AECBD第二组练习:用勾股定理解决简单的实际问题解：设滑杆顶端A下滑了x米，依题意得CE=AC-x,∵AB=DE=2.5,BC=1.5,∠C=90°，∴AC==2.又∵BD=0.5,BC=1.5∴CD=2.∴在Rt△ECD中，CE==1.5.∴2-x=1.5，x=0.5.即AE=0.5.答：梯子下滑0.5米．22EDCD22ABBC思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？Zx```xk1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形.2.在直角三角形中找出直角边，斜边.3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.1．证明线段相等.已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12.求证：△ABC是等腰三角形.证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵在Rt△ADB中，AB=10，AD=8，∴BD=6.∵BC=12,∴DC=6.∵在Rt△ADC中，AD=8，DC=6.∴AC=10，∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段AC的长，最后得出AB=AC，即可.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.【思考】1、由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？2、在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？3、由DF的长，你还可以求出哪条线段长？4、设BE=x，你可以用含有x的式子表示出哪些线段长？第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题解:设BE=x，折叠，∴△BCE≌△FCE，∴BC=FC=10.令BE=FE=x，长方形ABCD，∴AB=DC=8，AD=BC=10，∠D=90°，∴DF=6,AF=4，∠A=90°,AE=8-x，∴，解得x=5.∴BE的长为5.222)8(4xx3.作高线，构造直角三角形.1)已知：在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2.求（1）BC的长；（2）S△ABC.分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以添加BC边上的高这条辅助线，就可以求得BC及S△ABC.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题解:过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=2，∴AD=BD=.∵在△ABD中，∠ADC=90°，∠C=60°，AD=，∴CD=,∴BC=，S△ABC=33233222.361230°160AMNPQE2)如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?AMNPQBDE2）如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?思考：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形，利用勾股定理解决问题.已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC.求四边形ABCD的面积.分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理的逆定理判定△ADC的形状为直角三角形，再利用勾股定理解题.解：连接AC,∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°.∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC=.∵CD=2，AD=3,∴△ACD是直角三角形；∴四边形的面积为1+.55第四组练习:勾股定理及其逆定理的综合应用变式训练:如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。ABC341312D你在本节课的收获是什么？三.课堂小结通过学习，我们知道勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高综合应用能力。在不同条件、不同环境中反复运用定理，要达到熟练使用，灵活运用的程度。1.一个直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三条边长为______.2.已知：如图，等边△ABC的边长是6cm.求⑴等边△ABC的高;⑵S△ABC.3.如图，AB=AC=20,BC=32，∠DAC＝90°，求BD的长.四.布置作业4.如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AD＝8cm，DC＝10cm，求EC的长．