2020年高考文数全国卷3-试题+答案详解

全国卷3文数试题第1页,共4页2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2,3,5,7,11A,315|Bxx，则AB中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.52.若11zii，则z（）A.1–iB.1+iC.–iD.i3.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）A.0.01B.0.1C.1D.104.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：0.23(53)()=1etIKt，其中K为最大确诊病例数．当I(*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.695.已知πsinsin=31，则πsin=6（）A.12B.33C.23D.226.在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=1ACBC，则点C的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线7.设O为坐标原点，直线2x与抛物线2:2(0)Cypxp交于D,E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为（）A.1,04B.1,02C.(1,0)D.(2,0)8.点0,1到直线1ykx距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.29.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+42B.4+42C.6+23D.4+2310.设3log2a，5log3b，23c，则（）全国卷3文数试题第2页,共4页A.acbB.abcC.bcaD.cab11.在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则tanB=（）A.5B.25C.45D.8512.已知函数1sinsinfxxx，则（）A.fx的最小值为2B.fx的图像关于y轴对称C.fx的图像关于直线x对称D.fx的图像关于直线2x对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足约束条件0,201,xyxyx，，则z=3x+2y的最大值为_________．14.设双曲线C：22221xyab(a0，b0)的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为_________．15.设函数e()xfxxa．若(1)4ef，则a=_________．16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设等比数列na满足124aa，318aa．（1）求na的通项公式；（2）记nS为数列3logna的前n项和．若13mmmSSS，求m．18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为全国卷3文数试题第3页,共4页代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.如图，在长方体1111ABCDABCD中，点,EF分别在棱11,DDBB上，且12DEED，12BFFB．证明：（1）当ABBC时，EFAC；（2）点1C在平面AEF内．20.已知函数32()fxxkxk．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有三个零点，求k的取值范围．21.已知椭圆222:1(05)25xyCmm的离心率为154，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线6x上，且||||BPBQ，BPBQ，求APQ的面积．全国卷3文数试题第4页,共4页（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22223xttytt（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．（1）求||AB；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34．全国卷3文数，试题详解第1页,共7页参考答案一、选择题.1.【答案】B【解析】由题意{5,7,11}AB，故AB中元素的个数为3.故选B2.【答案】D【解析】∵21(1)21(1)(1)2iiiziiii,∴zi=.故选D.3.【答案】C【解析】数据(1,2,,)iaxbinL，的方差是数据(1,2,,)ixinL，的方差的2a倍，∴所求数据方差为2100.01=1,故选C.4.【答案】C【解析】∵0.23531tKIte，∴0.23530.951tKItKe，则0.235319te，∴0.2353ln193t，解得353660.23t.故选C.5.【答案】B【解析】由题意可得13sinsincos122，则33sincos122，313sincos223，从而有3sincoscossin663，即3sin63.故选B.6.【答案】A【解析】设20ABaa，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则,0,,0AaBa，设,Cxy，可得,,,ACxayBCxay，从而2ACBCxaxay，结合题意可得21xaxay，整理可得2221xya，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，21a为半径的圆.故选A.7.【答案】B【解析】∵直线2x与抛物线22(0)ypxp交于,ED两点，且ODOE，根据抛物线的对称性可以确定4DOxEOx，所以2,2D，代入抛物线方程44p得1p，其焦点坐标为1(,0)2，故选B.8.【答案】B【解析】由(1)ykx可知直线过定点(1,0)P，设(0,1)A，当直线(1)ykx与AP垂直时，点A到直线(1)ykx距离最大，即为||2AP.故选B.全国卷3文数，试题详解第2页,共7页9.【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABCADCCDBSSS△△△根据勾股定理可得：22ABADDB∴ADB△是边长为22的等边三角形根据三角形面积公式可得：2113sin60(22)23222ADBSABAD△∴该几何体的表面积是2362332.故选C.10【答案】A【解析】∵333112log2log9333ac，355112log3log25333bc，∴acb.故选A.11【答案】C【解析】设,,ABcBCaCAb,则由余弦定理得22222cos91623493cababC,∴3c,2221cos29acbBac,2145sin1()99B,tan45B故选C.12【答案】D【解析】sinx可以取负值，所以A错；∵sin0x，∴()xkkZ∵1()sin()sinfxxfxx，∴()fx关于原点对称；∵11(2)sin(),()sin()sinsinfxxfxfxxfxxx,故B错；∴()fx关于直线2x对称，故C错，D对,故选D.二、填空题.13【答案】7【解析】不等式组所表示的可行域如图∵32zxy，∴322xzy，易知截距2z越大，则z越大，平移直线32xy，当322xzy经过A点时截距最大，此时z最大，由21yxx，得12xy，(1,2)A，∴max31227z.故答案为7.14【答案】3全国卷3文数，试题详解第3页,共7页【解析】由双曲线方程22221xyab可得其焦点在x轴上，∵其一条渐近线为2yx，∴2ba，2213cbeaa.故答案为3.15【答案】1【解析】由函数的解析式可得221xxxexaeexafxxaxa，则12211111eaaefaa，据此可得241aeea，整理可得2210aa，解得1a.故答案为1.16【答案】23【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BCABAC，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于223122AM，故1222222S△ABC，设内切圆半径为r，则ABCAOBBOCAOCSSSS△△△△111222ABrBCrACr1332222r，解得22r，其体积34233Vr.故答案为23.三、解答题.17【答案】（1）13nna；（2）6m.【解析】（1）设等比数列na的公比为q，根据题意有1121148aaqaqa，解得113aq，∴13nna.（2）令313loglog31nnnban，则(01)(1)22nnnnnS，由13mmmSSS，得(1)(1)(2)(3)222mmmmmm，整理得2560mm，∵0m，∴6m.18【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100，全国卷3文数，试题详解第4页,共7页等级为2的概率为510120.27100，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100（3）22列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气