2013北师大版必修四第二章-平面向量复习课件

BS·数学必修4BS·数学必修4BS·数学必修4BS·数学必修4平面向量的线性运算1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算．2．向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．BS·数学必修43．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．4．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等．BS·数学必修4如图，在△ABC中，AQ→＝QC→，AR→＝13AB→，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.(1)用AB→和AC→分别表示BQ→和CR→；(2)如果AI→＝AB→＋λBQ→＝AC→＋μCR→，求实数λ和μ的值；(3)确定点P在边BC上的位置．图2－1BS·数学必修4【思路点拨】结合图形，用已知向量表示未知向量，借助于相等向量对应系数相等构造方程组解决问题．【规范解答】(1)由AQ→＝12AC→，可得BQ→＝BA→＋AQ→＝－AB→＋12AC→，又∵AR→＝13AB→，所以CR→＝CA→＋AR→＝－AC→＋13AB→.BS·数学必修4(2)将BQ→＝－AB→＋12AC→，CR→＝－AC→＋13AB→，代入AI→＝AB→＋λBQ→＝AC→＋μCR→，则有AB→＋λ(－AB→＋12AC→)＝AC→＋μ(－AC→＋13AB→)，即(1－λ)AB→＋12λAC→＝13μAB→＋(1－μ)AC→.所以1－λ＝13μ，12λ＝1－μ，解得λ＝45，μ＝35.BS·数学必修4(3)设BP→＝mBC→，AP→＝nAI→.由(2)，知AI→＝15AB→＋25AC→，所以BP→＝AP→－AB→＝nAI→－AB→＝n(15AB→＋25AC→)－AB→＝2n5AC→＋(n5－1)AB→＝mBC→＝mAC→－mAB→，所以－m＝n5－1，m＝2n5，解得m＝23，n＝53.所以BP→＝23BC→，即BPPC＝2.BS·数学必修4如图，在△ABC中，点M是AB边的中点，E是中线CM的中点，AE的延长线交BC于F.MH∥AF交BC于H.求证：HF→＝BH→＝FC→.图2－2BS·数学必修4【解】设BM→＝a，MH→＝b，则BH→＝a＋b，HF→＝HB→＋BA→＋AF→＝－BH→＋2BM→＋2MH→＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b，BS·数学必修4FC→＝FE→＋EC→＝12HM→＋ME→＝－12MH→＋MA→＋AE→＝－12b＋BM→＋AF→－EF→＝－12b＋a＋2MH→－12MH→＝－12b＋a＋2b－12b＝a＋b.综上，得HF→＝BH→＝FC→.BS·数学必修4平面向量的数量积数量积的运算是平面向量的核心内容，利用数量积可以解决以下几个大问题：平行问题、垂直问题、求模问题、求夹角问题以及求向量及进行数量积运算等．1．平行问题这类题主要考查向量平行的充要条件：若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.BS·数学必修42．垂直问题这类问题主要考查两向量垂直的充要条件：若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.3．求夹角问题求向量a，b夹角θ的步骤：(1)求|a|，|b|，a·b；(2)求cosθ＝a·b|a||b|(夹角公式)；(3)结合θ的范围[0，π]确定θ的大小．因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小．BS·数学必修44．求模问题若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝x2＋y2，对于求模有时还运用平方法．BS·数学必修4已知|a|＝1，|b|＝2.(1)若a∥b，求a·b；(2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；(3)若(2a－b)⊥b，求a与b的夹角．【思路点拨】利用向量的夹角与向量位置的关系，与向量模的关系进行转化．BS·数学必修4【规范解答】(1)若a∥b，则a与b的夹角为0或π.∴a·b＝|a||b|cos0＝1×2×1＝2或a·b＝|a||b|cosπ＝－2.(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a||b|cos60°＋|b|2＝1＋2×1×2×12＋2＝3＋2.∴|a＋b|＝2＋1.BS·数学必修4(3)若(2a－b)⊥b，则(2a－b)·b＝0，即2a·b－b2＝0，∴2|a||b|cosθ－|b|2＝0，即2×2cosθ－2＝0，∴cosθ＝22，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.BS·数学必修4已知c＝ma＋nb，c＝(－23，2)，a⊥c，b与c的夹角为23π，b·c＝－4，|a|＝22，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.【解】∵c＝(－23，2)，∴|c|＝4.∵a⊥c，∴a·c＝0.∵b·c＝|b||c|cos23π＝|b|×4×(－12)＝－4.∴|b|＝2.BS·数学必修4∵c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋nb·c，∴16＝n×(－4)，因此n＝－4.在c＝ma＋nb两边同乘以a，得0＝8m－4a·b.①在c＝ma＋nb两边同乘以b，得ma·b＝12②由①②，得m＝±6.∴a·b＝±26，∴cosθ＝±2622·2＝±32.∴θ＝π6或56π.BS·数学必修4向量的坐标运算1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题．BS·数学必修4已知向量AB→＝(4,3)，AD→＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB→＝λBD→(λ∈R)，求y与λ的值．【思路点拨】(1)先求B、D点的坐标，再求M点坐标；(2)由向量相等转化为y与λ的方程求解．BS·数学必修4【规范解答】(1)设点B的坐标为(x1，y1)．∵AB→＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．∴x1＋1＝4，y1＋2＝3，∴x1＝3，y1＝1.∴B(3,1)．同理可得D(－4，－3)．BS·数学必修4设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，∴M(－12，－1)．BS·数学必修4(2)由已知得PB→＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，BD→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．又∵PB→＝λBD→，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，则1＝－7λ，1－y＝－4λ，∴λ＝－17，y＝37.BS·数学必修4设a＝(3，－1)，b＝(12，32)，若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a＋(t－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y.(1)试求函数关系式k＝f(t)；(2)求使f(t)＞0的t的取值范围．BS·数学必修4【解】(1)∵a·b＝0，x⊥y，|a|＝2，|b|＝1，∴[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0.即－ka2＋[t－k(t－3)]a·b＋t(t－3)b2＝0，∴－4k＋t2－3t＝0.∴k＝14(t2－3t)．∵k、t不同时为0，∴函数定义域为{t|t∈R且t≠0}．(2)由f(t)＞0，即14(t2－3t)＞0，解得t＞3或t＜0.即t的取值范围为(－∞，0)∪(3，＋∞).BS·数学必修4平面向量的应用1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程．3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．BS·数学必修4四边形ABCD中，AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)，(1)若BC→∥DA→，求x与y之间的关系式；(2)满足(1)的条件，同时又有AC→⊥BD→，求x、y的值以及四边形ABCD的面积．【思路点拨】(1)由向量共线的等价条件列式可求；(2)先构建x，y的方程组求x，y值，再求面积．BS·数学必修4【规范解答】(1)∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA→＝－AD→＝(－x－4,2－y)．又∵BC→∥DA→，BC→＝(x，y)，∴x(2－y)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.BS·数学必修4(2)由AC→＝AB→＋BC→＝(6,1)＋(x，y)＝(x＋6，y＋1)，BD→＝BC→＋CD→＝(x，y)＋(－2，－3)＝(x－2，y－3)．又∵AC→⊥BD→，∴AC→·BD→＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，又∵x＋2y＝0，∴x＋2y＝0，x＋6x－2＋y＋1y－3＝0，解得x＝－6，y＝3或x＝2，y＝－1.BS·数学必修4当x＝－6，y＝3时，AC→＝(0,4)，BD→＝(－8,0)，∴SABCD＝12|AC→|·|BD→|＝16，当x＝2，y＝－1时，AC→＝(8,0)，BD→＝(0，－4)，∴SABCD＝12|AC→|·|BD→|＝16.BS·数学必修4已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.【证明】建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．(1)BE→＝(－1,2)，CF→＝(－2，－1)．∴BE→·CF→＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE→⊥CF→，即BE⊥CF.BS·数学必修4(2)设点P坐标为(x，y)，则FP→＝(x，y－1)，FC→＝(2,1)，∵FP→∥FC→，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，同理，由BP→∥BE→得y＝－2x＋4，由x＝2y－2，y＝－2x＋4得x＝65，y＝85，∴点P坐标为(65，85)．∴|AP→|＝652＋852＝2＝|AB→|，即AP＝AB.BS·数学必修4数形结合思想在向量问题中的应用在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，即数量关系转化为图形的性质来确定，或者把图形的性质转化为数量关系来研究．BS·数学必修4已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在(0，π12)变动时，a的范围是()A．(0,1)B．(33，3)C．(33，1)∪(1，3)D．(1，3)【思路点拨】数形结合，通过构造相应的图形分析，获得直观的解法．BS·数学必修4【规范解答】如图，设OA→＝a，OB→＝b，则OA→＝(1,1)，即A(1,1)．当点B位于B1和B2时，a与b夹角为π12，即∠AOB1＝∠AOB2＝π12，此时，∠B1Ox＝π4－π12＝π6，∠B2Ox＝π4＋π12＝π3，故B1(1，33)，B2(1，3)，又a与b夹角不为零，故a≠1，由图易知a的范围是(33，1)∪(1，3)．【答案】CBS·数学必修4已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a－b的夹角．【解】如图所示，作OA→＝a，OB→＝b，以OA→，OB→为邻边作平行四边形OACB，则OC→＝a＋b，BA→＝OA→－OB→＝a－b，由|a|＝|b|＝|a＋b|，可知OA＝OB＝OC＝AC＝BC，∴四边形OACB为菱形，△OBC为等边三角形，∴BA平分∠OBC.BS·数学必修4由∠OBC＝60°，又a与a－b的夹角为BC→与BA→的夹角，∴∠CBA＝12∠OBC＝30°，从而a与a－b的夹角为30°.