量子力学第三章算符

64第三章算符和力学量算符3.1算符概述设某种运算把函数u变为函数v，用算符表示为：ˆFuv（3.1-1）ˆF称为算符。u与v中的变量可能相同，也可能不同。例如，11duvdx，22xuv，33uv，1(,)2xth，(,)xipxhxedxCpt，则ddx，x，，12dxh，xipxhe都是算符。1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u，若ˆˆFuGu，则ˆˆGF。（2）算符的相加：对于任意函数u，若ˆˆˆFuGuMu，则ˆˆˆMFG。算符的相加满足交换律。（3）算符的相乘：对于任意函数u，若ˆˆˆFFuMu，则ˆˆˆMGF。算符的相乘一般不满足交换律。如果ˆˆˆˆFGGF，则称ˆF与ˆG对易。2．几种特殊算符（1）单位算符对于任意涵数u，若ˆIu=u，则称ˆI为单位算符。ˆI与1是等价的。（2）线性算符对于任意函数u与v，若**1212ˆˆˆ()FCuCvCFuCFv，则称ˆF为反线性算符。（3）逆算符对于任意函数u，若ˆˆˆˆFGuGFuu则称ˆF与ˆG互为逆算符。即1ˆˆGF，111ˆˆˆˆˆˆ,1FGFFFF。并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fuxafx，其中ˆF为ddx与函数构成的线性算符，a为常数。其解u可表示为对应齐次方程的通解u。与非齐次方程的特解之和，即0uuv。因0ˆ0Fu，65所以不存在1ˆF使100ˆˆFFuu。一般说来，在特解中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，=0，则中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF使11ˆˆˆˆFFvFFvv，从而由ˆFvaf得：1ˆFaf。从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。（4）转置算符令~ˆˆFuuF，则称~ˆF与ˆF的转置算符，~ˆF是一个向左作用的算符。若算符ˆF表示一般函数（或常数），由于函数的左乘等于右乘，所以函数的转置就等于它本身。定义波函数与的标积为：*|d（3.1-2）与ˆF的标积以及~ˆG与的标积为：*ˆˆ||FFd~!*ˆˆ||GGd若上两式中的与都是任意波函数，则称上两式中的ˆF与~ˆG为任意标积中的算符。下面考虑在任意标积中ddx的性质。****()()dddxxdxdxdxdxdxdx波函数()x与()x在无限远点也应满足连续性条件：()()[可都等于零]，()()，所以得：**dddxdxdxdx可见在任意标积中，dddxdx。（5）转置共轭算符（也称为厄密共轭算符）与厄密算符转置共轭算符通常也是向左作用的算符，同时算符本身要取共轭。以ˆF标记ˆF的转置共轭算符，则*~ˆˆFF*ˆˆuFFu66若在任意标积中，ˆˆFF，则称ˆF为厄密算符。即厄密算符的定义为：**ˆˆ()FdFd或写为ˆˆ||||FF（3.1-3）可以证明，位置算符与动量算符都是厄密算符。因x是实数，而xx，所以xx。在任意标积中，因dddxdx，所以*ˆˆxxhhPPixix。也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来证明ˆxP是厄密算符。****ˆˆ|()xxhhdPdxdxPdxiidx，所以ˆxP是厄密算符。（6）幺正算符若在任意标积中，1ˆˆFF，则称ˆF为幺正算符。设ˆˆiATe，若ˆA为厄密算符，则ˆT必为幺正算符。（7）算符的函数设函数F（A）的各阶导数都存在，则定义算符ˆA的函数F（ˆA）为：()()0ˆˆ()nonnFFAAni（3.1-4）其中ˆnA表示n个ˆA的乘幂，即ˆˆˆˆnAAAA。例如ˆ01ˆFnneFni3.2算符的对易关系定义算符的泊松（Poisson）括号为：ˆˆˆˆˆˆ[,]ABABBA（3.2-1）一般说来ˆˆˆˆABBA，例如ˆˆˆ[,]ABik，这样的关系或称为对易关系式。ˆˆ[,]0AB是对易关系式中的特例，这时ˆˆˆˆABBA，称ˆA与ˆB是对易的。1．量子力学中基本对易关系在位置表象中，ˆˆ(,,)()xxhhhhPxxyzxxxPixiixi，即ˆˆ()xxxPPxih，此式对任意的都成立，所以得：ˆ[,]xxPih67在动量表象中ˆˆ(,,)()xxyzxxxxxxPPPPihPihihPihPxPP，即ˆˆ()xxxPPxih，此式对任意的都成立，所以得：ˆ[,]xxPih可见在位置表象中与动量表象中都得：ˆˆ[,]xxPih（3.2-2）如果两个算符所含的独立变量不同，则这两个算符是对易的。例如，在位置表象中，ˆyy所含的变量是y，而ˆxhPix所含的变量是x，所以ˆ[,]xyP=0。又如，在有心力场中，U(x)所含的变量是r，而2ˆL所含的变量是,，所以2ˆ[(),]0UrL。此外，相同的算符一定对易。以(1,2,3)ixi表示x，y，z，以ˆiP表示ˆˆˆ,,xyzPPP，则应有：ˆˆ[,]0ˆˆ[,]0ijijxxPP（3.2-3）ˆˆ[,]ijijxPih(3.2-4)（3.2-4）式就是量子力学中的基本对易关系式。2．线性算符泊松括号的性质根据量子泊松括号的定义式以及线性算符的定义式不难证明下关系式：（其证明供练习）ˆˆˆˆ[,][,]ABBA（3.2-5）ˆ[,]0ACC为常数（3.2-6）ˆˆˆˆ[,][,]CABCABC为常数（3.2-7）1212ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AABABAB(3.2-8)121212ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AABABAAAB(3.2-9)ˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABABABttt(3.2-10)3．其他对易关系（1）角动量算符与位置算符之间的对易关系68ˆˆˆ[,][,,]0xzyLxyPzPxˆˆˆˆˆ[,][,][,][,]xzyyyLyyPzPyzPyzyPihz同理可得：ˆ[,]xLzihy，……，各对易关系可合写为：ˆˆ[,]ijijkkkLxihx采用爱因斯坦记号，则上式可写为：ˆˆ[,]ijijkkLxihx（3.2-11）其中ijk称为勒维——奇维塔（Levi-Civita）符号。123=1，ijk对所有角标都是反对称的，即交换任意两个角标，其值反号，例如，2131，3211。若ijk中有两个角标相同，则其值为零。ijk具有以下数学性质：2ijijijkkijij（3.2-12）()2ijjikijkijijkABABABAB(3.2-13)上式中将ijAB改写为2ijjiABAB称为将ijAB反对称化，之所以能将ijAB反对称化是由于ijk对角标i，j反对称之故。（2）角动量算符与动量算符之间的对易关系ˆˆˆ[,]ijijkkLPihP（3.2-14）（3）角动量算符的对易关系ˆˆˆ[,]ijijkkLLihL（3.2-15）上式中三个不为零的对易关系式还可以写成下面的关系式：,LLihL（3.2-16）若令ˆˆˆˆˆˆ,xyxyLLiLLLiL，则可得：ˆˆˆ[,]2ˆˆˆ[]zzLLhLLLhL（3.2-17）692ˆˆ[,]0iLL（3.2-18）（4）算符的函数之间的对易关系[(,,),](,,)fxyzPihfxyz（3.2-19）1ˆˆˆ[,()]0,[()]0AfAfA(3.2-20)必须注意，若ˆˆ[,]0FG，则ˆˆˆˆFGFGeee。3.3线性厄密算符和力学量算符1．厄密算符的性质（1）对易的厄密算符的乘积也是厄密算符。设ˆF与ˆG是对易的厄密算符，利用（3.1-3）式可得：****ˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()FGdFGdGFdFGd所以ˆˆFG也是厄密算符。（2）厄密算符的本征值必为实数。设ˆF为厄密算符，其本征方程为：ˆFF，则***ˆ()FF根据（3.1-3）式得：**ˆˆ()FdFd则***FdFd因*0d，则得F=F*，所以F为实数。（3）厄密算符属于不同本征值的本征函数是正交的。设k，l为厄密算符ˆF分别对应本征值kF，eF的本征函数，则**ˆˆ()klkeFdFd即*()0ekklFFd当ekFF时得：70*0kld上式称为正交关系式。若本征值无简并，且本征函数已归一化，则得：当F为分立谱时，*klkld（3.3-1）当F为连续谱时，*()FFdFF（3.3-2）如果ˆF中含有参变量，则只有当参变量的值保持不变时，属于不同本征值的本征函数才是正交的。例如，当粒子在有心力场中运动时，经向方程是厄密算符的本征方程，其本征值为能量E（对束缚态，E由径向量子数rn确定）。角量子数l是径向方程中的参变量。径向波函数()ElRr的正交关系式为：*20ElEloRRrdr，EE因不同的l值对应不同的径向方程，所以*20ElEloRRrdr，ll2、正交化手续对于线性厄密算符ˆF，如果ˆF的本征值Fn是f度简并的，对应的本征函数为12,,fnnn，则这f个本征函数的任意线性组合也是本征方程的解。一般说来，这f个本征函数不一定是正交的，但通过它们的线性组合一定可以构成f个正交的本征函数。通常的正交化手续如下：取11nn2211nnnb331212nnnnCC……从1n与2n的正交性可以确定b112121**1()nnnnndbd=1211**10nnnndbd则得：1111*1*nnnndbd若先将1n归一化，则得：12*1nndb71从123,,nnn的正交性得：131311***10nnnnnnddCd则得：1311*1*nnnndCd若先将1n归一化，则得：12*1nnbd从123,,nnn的正交性得：131311***10nnnnnnddCd则得：1311*1*nnnndCd232322***20nnnndnndCd则得：2322*2*nnnndCd依此类推，可求出各系数，使12,,nnnf彼此正交。3、力学量算符在量子力学中，力学量都有算符表示。力学量算符通常都是线性厄密算符。假设力学量算符的本征函数构成完备系（之所以是假设是因为尚未得到普遍性的证明），即认为任意波函数都可以对力学量算符的本征函数组展开。一个力学量算符的本征函数也可以对另一个力学量算符的本征函数组展开。在展开式中的本征函数组也称为本征基组应注意，这里所说的力学量总是指某物理体系中的力学量，这里所说的波函数是指描写同一物理体系的波函数，事实上，只有对于同一物理体系，力学量的本征函数与被展开的波函数才能具有相同的时间与空间。当力学量算符ˆF的本征值Fn为分立谱时，在位置表象中，设本征基