等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)

第1页共11页等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：*12,nnaqqnnNa0且，q称为公比2、通项公式：11110,0nnnnaaaqqABaqABq，首项：1a；公比：q推广：nmnmnnnmnmmmaaaaqqqaa3、等比中项：（1）如果,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：2Aab或Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个。（2）数列na是等比数列211nnnaaa4、等比数列的前n项和nS公式：（1）当1q时，1nSna（2）当1q时，11111nnnaqaaqSqq11''11nnnaaqAABABAqq（,,','ABAB为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n，都有11(0){}nnnnnnaaqaqqaaa或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}nnnnnnaaaaaa为等比数列（3）通项公式：0{}nnnaABABa为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若*12,nnaqqnnNa0且或1{}nnnaqaa为等比数列7、等比数列的性质：（1）对任何*,mnN，在等比数列{}na中，有nmnmaaq。（2）若*(,,,)mnstmnstN，则nmstaaaa。特别的，当2mnk时，得2nmkaaa注：12132nnnaaaaaa第2页共11页等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{}na中，1964aa,3720aa,求11a.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a和q的二元方程组，解出1a和q，可得11a；或注意到下标1937，可以利用性质可求出3a、7a，再求11a.总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.等差数列等比数列定义daann1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,,*knNkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm第3页共11页举一反三：【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。【变式3】已知等比数列{}na，若1237aaa，1238aaa，求na。类型二：等比数列的前n项和公式例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.解析：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.由3692SSS得，369111(1)(1)2(1)111aqaqaqqqq，整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q≠0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，因q3≠1，故312q，所以342q。举一反三：【变式1】求等比数列111,,,39的前6项和。【答案】364243；第4页共11页∵11a，13q，6n∴666111331364112324313S。【变式2】已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【答案】1211219或；∵322273aa，31(1)113313aqqqq或，则a1=1或a1=9∴5555191131213121S113913S－或＝＝－.【变式3】在等比数列{}na中，166naa，21128naa，126nS，求n和q。【答案】12q或2，6n；∵211nnaaaa，∴1128naa解方程组1112866nnaaaa，得1642naa或1264naa①将1642naa代入11nnaaqSq，得12q，由11nnaaq，解得6n；②将1264naa代入11nnaaqSq，得2q，由11nnaaq，解得6n。∴12q或2，6n。类型三：等比数列的性质例3.等比数列{}na中，若569aa,求3132310loglog...logaaa.解析：∵{}na是等比数列，∴110293847569aaaaaaaaaa∴1032313logloglogaaa553123103563log()log()log910aaaaaa举一反三：第5页共11页【变式1】正项等比数列{}na中，若a1·a100=100;则lga1+lga2+……+lga100=_____________.【答案】100；∵lga1+lga2+lga3+……+lga100=lg(a1·a2·a3·……·a100)而a1·a100=a2·a99=a3·a98=……=a50·a51∴原式=lg(a1·a100)50=50lg(a1·a100)=50×lg100=100。【变式2】在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。【答案】216；法一：设这个等比数列为{}na，其公比为q，∵183a，445127823aaqq，∴48116q，294q∴23362341111aaaaqaqaqaq33389621634。法二：设这个等比数列为{}na，公比为q，则183a，5272a，加入的三项分别为2a，3a，4a，由题意1a，3a，5a也成等比数列，∴238273632a，故36a，∴23234333216aaaaaa。类型四：等比数列前n项和公式的性质例4．在等比数列{}na中，已知48nS，260nS，求3nS。思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。解析：法一：令b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n观察b1=a1+a2+……+an,b2=an+1+an+2+……+a2n=qn(a1+a2+……+an)，b3=a2n+1+a2n+2+……+a3n=q2n(a1+a2+……+an)易知b1,b2,b3成等比数列，∴2223112348bbb，∴S3n=b3+S2n=3+60=63.法二：∵22nnSS，∴1q，第6页共11页由已知得121(1)481(1)601nnaqqaqq①②②÷①得514nq，即14nq③③代入①得1641aq，∴3133(1)164(1)6314nnaqSq。法三：∵{}na为等比数列，∴nS，2nnSS，32nnSS也成等比数列，∴2232()()nnnnnSSSSS，∴22232()(6048)606348nnnnnSSSSS。举一反三：【变式1】等比数列{}na中，公比q=2,S4=1,则S8=___________.【答案】17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1×(1+24)=17【变式2】已知等比数列{}na的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求：S30=？【答案】130；法一：S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，∴(S20-S10)2=S10·(S30-S20)即302=10(S30-40),∴S30=130.法二：∵2S10≠S20，∴1q,∵101)1(10110qqaS,20120(1)401aqSq,∴102011,14qq∴103q,∴511qa∴130)31)(5(1)1(330130qqaS.【变式3】等比数列{}na的项都是正数，若Sn=80,S2n=6560，前n项中最大的一项为54，求n.【答案】∵6560802nnSS，∴1q(否则212nnSS)第7页共11页∴1(1)1nnaqSq=80........(1)212(1)1nnaqSq=6560.........(2)，(2)÷(1)得：1+qn=82,∴qn=81......(3)∵该数列各项为正数，∴由(3)知q1∴{an}为递增数列，∴an为最大项54.∴an=a1qn-1=54,∴a1qn=54q,∴81a1=54q..........(4)∴1542813aqq代入(1)得2(181)80(1)3qq，∴q=3,∴n=4.【变式4】等比数列{}na中，若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=_____________.【答案】4；令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),易知：b1,b2,b3成等比数列，∴b3=122bb=324362=4,即a5+a6=4.【变式5】等比数列{}na中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。【答案】448；∵{an}是等比数列，∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,∴q3=8,∴a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448.类型五：等差等比数列的综合应用例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为a-d,a,a+d.则a-d,a,a+d+32成等比数列，a-d,a-4,a+d成等比数列.∴)2.().........)(()4()1.().........32)((22dadaadadaa由(2)得a=8162d...........(3)第8页共11页由(1)得32a=d2+32d..........(4)(3)代(4)消a，解得83d或d=8.∴当83d时,269a；当d=8时,a=10∴原来三个数为92,926,9338或2,10,50.法二：设原来三个数为a,aq,aq2，则a,aq,aq2-32成等差数列，a,aq-4,aq2-32成等比数列∴)2)......(32()4()1........(322222aqaaqaqaaq由(2)得24aq，代入(1)解得q=5或q=13当q=5时a=2；当q=13时29a.∴原来三个数为2，10，50或92，926,9338.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,a,a+d；若三数成