1.3.1-2函数的单调性(应用抽象与复合)

例1：若二次函数2()4fxxax在区间(-∞,1]上单调递增，求a的取值范围。变式：若二次函数2()4fxxax的递增区间是（-∞,1]，则a的取值情况是利用函数单调性求参数范围利用函数单调性解不等式也就是说，对于单调函数，函数值的大小与相应的自变量的大小具有等价性.若已知f(x)在[a,b]上是递增的，则有f(x1)f(x2)x1x2若已知f(x)在[a,b]上是递减的，则有f(x1)f(x2)x1x2例2：是定义在R上的单调函数，且的图象过点A（0，2）和B（3，0）（1）解不等式（2）求适合的的取值范围()fx(2)(1)fxfx()2()0fxfx或x()fx变式：是定义在（-1，1）上的单调增函数，解不等式(2)(1)fxfx()fx()(1)(2)1(2)()()()(3)()()(4)()(3)2Rfxffxyfxfyxyfxfyfxfx，例2：定义在上的函数满足：时求x的取值范围.(3)()(4)(2)(2)2fxRfff：，解由知在上减又(4)((3))(4)fxxf从而0304)3(xxxx4x例1已知y=f(x),是定义为R单调增函数.y=g(x),是定义为R单调减函数.求证y=f[g(x)]在其定域义上的减函数证明：设，x1,x2∈R且x1x2,因为是Ｒ上的减函数,所以g(x1)g(x2)，同理：y=f(x)是Ｒ上的增函数即g(x1)g(x2)∴f[g(x1)]f[g(x2)]故函数y=f[g(x)]是减函数同理可得复合函数的‘同增异减法则’ｆ，ｇ单调性相同原函数是增函数ｆ，ｇ单调性相异原函数是减函数解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3当-1/3≤x≤0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小当0x≤1/3，x增大时，1-9x2减小，f(x)增大∴函数的单调区间是[-1/3，0]，[0，1/3]。的单调区间。：求函数例29121)(1xxf的单调区间。求函数34xxy2练习：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3当-1/3≤x≤0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小当0x≤1/3，x增大时，1-9x2减小，f(x)增大∴函数的单调区间是[-1/3，0]，[0，1/3]。12()192fxx。例1：求函数的单调区间例2.已知f(x)=－x2+2x+8，g(x)=f(2－x2)，求g(x)的单调增区间．【解题思路】x∈某区间At∈某区间B①在A上的增减性②在B上的增减性g(x)在A上的单调性关键是A的端点如何确定？【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数t=－x2+2①y=f(t)=－t2+2t+8②解】设t=－x2+2①y=－t2+2t+8②函数②的增、减转折点是t=1，把t=1代入①，得x1=－1，x2=1，又①的增、减转折点是x3=0，于是三个关节点把数轴分成四个区间：1,，0,11,0，，,1(1)x∈(-∞,-1]时,函数①递增,且t≤1,而t∈(-∞,1]时,函数②也递增，故(-∞,-1]是所求的一个单调增区间；(2)x∈(-1,0]时，函数①递增，且t∈(1,2]，而t∈(1,2]时，函数②递减，故(-1,0]是g(x)的单调减区间；(3)x∈(0,1]时,函数①递减，且t∈(1,2]，而t∈(1,2],函数②也递减，故(0,1]是g(x)的单调增区间；（4）x∈(1，+∞)时，函数①递减，且t∈(－∞，1)而t∈(－∞，1)时，函数②递增，故(1，+∞)是g(x)的单调减区间．综上知，所求g(x)的增区间是1,和1,0思考与讨论f(x)和g(x)都是区间D上的单调函数，那么f(x)和g(x)四则运算后在该区间D内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？1.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则F(X)=f(x)+g(x)为增函数。2.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则F(X)=f(x)+g(x)为减函数。3.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则F(X)=f(x)-g(x)为增函数。4.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则F(X)=f(x)-g(x)为减函数。例：求下列函数的值域(1)2113-4yxx(2)1yxx2(3),([2,4])yxxx[0,1]221xyxx(4)已知，求函数的值域判断函数单调性的其他方法函数f(x)与af(x),当a0时具有相同的单调性,当a0时具有相反的单调性；f(x)［f(x)0]与有相同的单调性f(x)当函数f(x)恒正（或恒负）时，f(x)与具有相反的单调性；f(x)1抽象函数：无函数具体表达形式，仅知道一些函数性质去解决相关的问题抽象函数的单调性例：定义在R上的函数f(x)满足对任意，，且当时，，判断的单调性。,xyR()()()fxyfxfy0x()0fx()fx1221212211211212112,0,()0()()()()()()()0()()()xxxxfxxfxfxxxfxxfxfxfxfxxfxfxfxR.解：设则在上单调递增例：定义在R上的函数f(x)满足对任意，，且当时，，判断的单调性。,xyR()()()fxyfxfy0x()1fx()fx0,1(1)(0)(1)abfff证：令则0()1(1)0xfxf时.1)0(f121221211212111211121,,0()1,()()()()()()()()[1()]xxxxRxxfxxfxfxfxfxxxfxfxxfxfxfxx、对任有110()1;xfx当时110()1;xfx当时111110,(0)()()1xaxbxffxfx当时令则)(1)(11xfxf0)(1)(11xfxf11()0.xRfx故对于任都有0)()(0)(12112xfxfxxf又()fx：综上为增函数.例：定义在上的函数f(x)满足对任意,，且当时，，判断的单调性。0,0xy()()()fxyfxfy1x()0fx()fx(0,)212122221112211120,1,()(.)()()()()()0()()()xxxxxxfxfxffxxxxfxfxfxfxfxfxR：设解则在上为增函数112211221212()();()();()(());fxfxxxxfxfxxfxxfxx注：常用的配凑方法:练习1:已知y=f(x)当x0时f(x)1且.f(x+y)=f(x)+f(y)-1求证y=f(x)是R上的增函数。练习2:已知y=f(x)定义域是R+,且y=f(x)是增函数f(xy)=f(x)+f(y)(1)求证:f(xy)=f(x)-f(y);(2)当f(3)=1时f(a)f(a-1)+2.求a取值范围;()()()()()()()xxfxfyfyfyyxffxfyy()(1)2()(9)191010918fafaaffaaaaaa证明（１）（２）由已知得(),()()(),0()0,(1)2,()[2,1].fxxyfxyfxfyxfxffx、，练习3：已知函数对于任意实数均有且当时求在区间上的值域1221210()0xxxxfxx解：设2211211()[()]()()fxfxxxfxxfx又212121()()()0()()fxfxfxxfxfx即().fx故为增函数()()()fxyfxfyyx在中令则),()()0(xfxff0(0)2(0)(0)0xyfff再令则()(),().fxfxfx故从而为奇函数,4)1()1()2(,2)1()1(fffff()[4,2].fx所以的值域为3()()()()(1)1,(27)9,01()(0,1).(1)().(2)()(0,).(3)0(1)9,.fxxyfxyfxfyffxfxfxfxafaa、，练习4：已知函数对任意实数都有且当时判断的奇偶性判断在上的单调性并证明若且求的取值范围11()()(1)()().yfxfxffxfx（）解令则为偶函数111222(2)001()(0,1)xxxxfxx设则]1)()[()()()()()()()(2122221222121xxfxfxfxfxxfxfxxxfxfxf.1)1(1)()1()()1()1,0()1()1,0(1,1;01)1()1(1);1,0()(102222222222xfxfxfxffxfxxffxxfx时当时，当时，当.),0()(上是增函数在xf0]1)()[()()(21221xxfxfxfxf.0)(,022xfx都有对于任意3()()()()(1)1,(27)9,01()[0,1).(1)().(2)()[0,).(3)0(1)9,.fxxyfxyfxfyffxfxfxfxafaa5：、练习已知函数对任意实数都有且当时判断的奇偶性判断在上的单调性，并证明若且求的取值范围3(3)(27)99(39)(3)(9)(3)(3)(3)[(3)]ffffffff又39)3(f即)3()1(9)1(3fafaf),0(310、aa231)3()1(aafaf02.a故)(xf[1,1],0,abab、且.0)()(babfaf)(xf)6()15(2xfxf练习6:已知是定义在[-1,1]上的奇函数，则有(1)判断（2）解不等式在[-1,1]上的增减性，并证明你的结论；解：（1）)(xf在[-1,1]上增。证明：任取,],1,1[2121xxxx且、则)()()()()()()()()(21212121212121xxxfxfxxxxxfxfxxxfxf.0)()(,0,0)()()(]1,1[2121212121xfxfxxxxxfxfxx又、故)(xf在[-1,1]上增。若（2）)(xf在[-1,1]上增，2226151611151)6()15(xxxxxfxf20566106631123xxxxx或故不等式的解集为.310xx)(xf,0],1,1[baba且、.0)()(babfaf是定义在[-1,1]上的奇函数，则有若练习7:已知2(3)()21[1,1],[1,1].fxmamxam若对于所有恒成立，求实数的取值范围2max(3)()[1,1]()(1)21fxfxfmam，在增022amm220amm即2()2,[1,1]gamama令()0ga则02)1(02)1(22mmgmmg0220mmmm或或202.mmm或或若函数f(x)=|x+1|+ax在R上具有单调性，求a的取值范围解：是分段函数，现在，我们可以先分段，当时，；当时，所以，当函数在R上单调递增的时候，且，解得：a＞1；当函数在R上单调递减的时候，而且，解得：a＜－1所以：a的取值范围是｛a＞1或a＜－1｝。()fx1x()1(1)1fxxaxax1x