立体几何讲义(教师版)

戴氏精品堂学校高三数学VIP赵老师高考数学立体几何部分总复习知识点梳理一、平面的基本性质：公理1如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(证明直线在平面内的依据)．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线(证明多点共线的依据)．公理3经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．【小结归纳】1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面．2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合．3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．二、空间直线：1．空间两条直线的位置关系为平行、相交、异面．2．相交直线有且仅有一个公共点，平行直线无没有公共点，异面直线：不同在任一个平面，没有公共点．3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角相等．5．异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过这点的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6．异面直线的距离：和两条异面直线都垂直相交的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在的长度，叫两异面直线的距离．【小结归纳】1．求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角．2．证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法．3．求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法．三、直线和平面平行：1．直线和平面的位置关系平行、包含、相交．直线在平面内，有无数个公共点．直线和平面相交，有一个公共点．直线和平面平行，没有公共点．直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．2．直线和平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(记忆口诀：线线平行线面平行)3．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的另一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行线线平行)戴氏精品堂学校高三数学VIP赵老师【小结归纳】1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法．2．辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用．四、直线和平面垂直：1．直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面的所有直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直．2．直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．3．直线和平面垂直性质：若a⊥，b则；若a⊥，b⊥则；若a⊥，a⊥则过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．4．点到平面距离过一点作平面的垂线的线段长度叫做点到平面的距离．5．直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上到这个平面的距离叫做直线到平面距离．【小结归纳】线面垂直的判定方法：(1)线面垂直的定义；(2)判定定理；(3)面面垂直的性质；(4)面面平行的性质：若∥，a⊥则a⊥。五、三垂线定理：1．和一个平面相交，但不和这个平面垂直的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做交点．2．射影(1)平面外一点向平面引垂线的叫做点在平面内的射影；(2)过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的．斜线上任意一点在平面上的射影一定在．垂线在平面上的射影只是．直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线的一条直线．3．如图，AO是平面斜线，A为斜足，OB⊥，B为垂足，AC，∠OAB＝1，BAC＝2，∠OAC＝，则cos＝．4．直线和平面所成的角平面的斜线和它在这个平面内的所成的叫做这条直线和平面所成角．斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中．5．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的垂直，那么它也和垂直．逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条垂直，那么它也和这条垂直．【小结归纳】1．求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算．寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决．2．三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影．３．证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线⊥面线⊥线；向量法．COBA戴氏精品堂学校高三数学VIP赵老师六、平面和平面平行：1．两个平面的位置关系：2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(记忆口诀：线面平行，则面面平行)3、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的平行．（记忆口诀：面面平行，则线线平行)4．两个平行平面距离：和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的，两个平行面的公垂线段的，叫做两个平行平面的距离．【小结归纳】1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理．2．正确运用两平面平行的性质．3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线线∥面面∥面．七、两个平面垂直：1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为二面角，则这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定：如果一个平面有一条直线另一个平面，则这两个平面互相垂直．3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面的垂直于它们的的直线垂直于另一个平面．4．异面直线上两点间的距离公式：EF＝cos2222mnnmd，其中：d是异面直线a、b的，θ为a、b，m、n分别是a、b上的点E、F到AA'与a、b的交点A，A'的距离．【小结归纳】在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键。八、空间的角：1．两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a'a，b'b，把直线a'和b'所成的或叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是．2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的所成的角，叫做这条斜线和平面所成的角．规定：①一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是角；②一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是角．其范围是．公式：cosθ＝cosθ1cosθ2，其中，θ1是，θ2是，θ是．3．二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角．4．二面角的平面角：以二面角的棱上一点为端点，在两个面内分别作棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是．【小结归纳】1．两异面直线所成角的作法：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线；②补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的是容易作出戴氏精品堂学校高三数学VIP赵老师两条异面直线所成的角．2．作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影．3．平面角的作法：①定义法；②三垂线法；③垂面法．4．二面角计算，一般是作出平面角后，通过解三角形求出其大小，也可考虑利用射影面积公式S'＝Scosθ来求．5．空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成．九、空间距离：1．点与点的距离：两点间的长．2．点与线的距离：点到直线的的长．3．平行线间的距离：从两条平行线中一条上一点向另一条引垂线，这点到之间的线段长．4．点与面的距离：点到平面的的长．5．平行于平面的直线与平面的距离：直线上一点到平面的的长．6．两个平行平面间的距离：从其中一个平面上一点向另一个平面引垂线，这点到之间的线段长．7．两条异面直线的距离：与两条异面直线都的直线夹在两间线段的长．【小结归纳】1．对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离，对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂线段时的距离．2、求点到平面的距离的方法：⑴确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质．⑵转化法．即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求.(3)等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距.3．距离问题有时也可以利用向量的模的计算解决．具体见第11节的小结4、5两点.十、棱锥、棱柱：（一）棱柱1．定义：如果一个多面体有两个面互相，而其余每相邻两个面的交线互相，这样的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的，其余各面叫做棱柱的，两侧面的公共边叫做棱柱的，两个底面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的．2．性质：①侧棱，侧面是；②两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是四边形．3．分类：①按底面边数可分为；②按侧棱与底面是否垂直可分为：棱柱____________________4．特殊的四棱柱：四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体．5．长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的．（二）棱锥1．定义：如果一个多面体的一个面是，其余各面是有一个公共顶点的，那么这个多面体叫做棱锥，有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的；余下的那个多边戴氏精品堂学校高三数学VIP赵老师形，叫做棱锥的．两个相邻侧面的公共边，叫做棱锥的，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的．2．性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的．3．正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在底面的射影是底面的，这样的棱锥叫做正棱锥．4．正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱，各侧面都是的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（它叫做正棱锥的）；②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个三角形．【小结归纳】柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点．1．要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延．2．要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质，能应用这些性质研究线面关系．3．在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个，已知两个可求另一个．十一、球：1．球：与定点的距离或定长的点的集合．2．球的性质(1)用一个平面去截一个球，截面是．(2)球心和截面圆心的连线于截面．(3)球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r有以下关系：．(4)球面被经过球心的平面截得的圆叫．被不经过球心的平面截得的圆叫．(5)在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫．3．球的表面积公式和体积公式：设球的半径为R，则球的表面积S＝；球的体积V＝．【小结归纳】1．因为“球”是“圆”在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比．2．球的轴截面是大圆，它含有球的全部元素，所以有关球的计算，可作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题．3．球心与小圆圆心的连线，垂直于小圆所在的平面，球的内部结构的计算