人教A版必修第一册322奇偶性学案

【新教材】3.2.2奇偶性（人教A版）1、理解函数的奇偶性及其几何意义；2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3、学会判断函数的奇偶性．重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断；难点：函数奇偶性概念的探究与理解．一、预习导入阅读课本82-84页，填写。1．奇函数、偶函数（1）偶函数（evenfunction）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有_________，那么f(x)就叫做偶函数．（2）奇函数（oddfunction）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有_________，那么f(x)就叫做奇函数．2、奇偶函数的特点（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．()()()()0fxfxfxfx（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．（4）偶函数：,奇函数：()()()()0fxfxfxfx；（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)定义在R上的函数f(x),若f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则f(x)一定是偶函数.()(2)若f(x)是奇函数,则f(0)=0.()(3)不存在既是奇函数又是偶函数的函数.()2．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a＞－1)是奇函数，则a等于()A．－1B．0C．1D．无法确定3．下列函数是偶函数的是()A．y＝xB．y＝2x2－3C．y＝1xD．y＝x2，x∈[0,1]4．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，若f(2)＝4，则f(－2)＝______.题型一判断函数奇偶性例1（课本P84例6）：判断下列函数的奇偶性（1）4()fxx（2）5()fxx（3）1()fxxx（4）21()fxx跟踪训练一1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f(x)＝xx－1；(4)f(x)＝x＋1，x＞0，－x＋1，x＜0.题型二利用函数的奇偶性求解析式例2已知f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)=-22x+3x+1,(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.跟踪训练二1.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．题型三利用函数的奇偶性求参例3(1)若函数f(x)＝a2x＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知函数f(x)＝a2x＋2x是奇函数，则实数a＝________.跟踪训练三1.设函数1xxax为奇函数，则a＝________1．奇函数()yfx的局部图像如图所示，则（）A．(2)0(4)ffB．(2)0(4)ffC．(2)(4)0ffD．(2)(4)0ff2．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎−22𝑥+1 (𝑎∈𝑅)为奇函数，则𝑓(1)=（）A.−53B.13C.23D.323．已知偶函数()fx在0，上单调递减，则(1)(2)(4)fff、、之间的大小关系为A．B．(1)(2)(4)fffC．(4)(1)(2)fffD．(2)(1)(4)fff4．定义在R上的奇函数fx满足：当20,2xfxxxa，则3f__________．5．已知()fx是R上的偶函数，且在[0，)单调递增，若(3)(4)faf，则a的取值范围为____．6．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥−5，𝑓(8)=18，则𝑓(−8)=_________.7．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)，f(0)的大小关系为________．8．已知函数()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，2()fxxx.（1）计算(0)f，(1)f；（2）当0x时，求()fx的解析式.答案小试牛刀1．（1）×（2）×（3）×2-3．CB4．4自主探究例1【答案】(1)f(x)为偶函数(2)f(x)为偶函数44()()(),fxxxfx(3)f(x)为奇函数(4)f(x)为偶函数【解析】(1)4()fxx的定义域为R，关于原点对称。且所以4()fxx为偶函数.(2)5()fxx的定义域为R，关于原点对称。且55()()(),fxxxfx所以5()fxx为偶函数.（3）1()fxxx的定义域为|0xx，关于原点对称.且11()()(),fxxxfxxx所以1()fxxx为奇函数.（4）21()fxx的定义域为|0xx，关于原点对称.且2211()(),()fxfxxx所以21()fxx为偶函数.跟踪训练一【答案】(1)f(x)为偶函数(2)f(x)既是奇函数又是偶函数(3)f(x)是非奇非偶函数(4)f(x)为偶函数【解析】(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．例2【答案】(1)-2(2)f(x)={-2x2+3x+1,x0,0,x=0,2x2+3x-1,x0.【解析】(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x0时,-x0,则f(-x)=-22()x+3(-x)+1=-22x-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=22x+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.所以f(x)的解析式为f(x)={-2x2+3x+1,x0,0,x=0,2x2+3x-1,x0.跟踪训练二【答案】f(x)＝x2－2x＋3，x＞0，0，x＝0，－x2－2x－3，x＜0.【解析】当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.即当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3.故f(x)＝x2－2x＋3，x＞0，0，x＝0，－x2－2x－3，x＜0.例3【答案】(1)130(2)0【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝13.又函数f(x)＝13x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.跟踪训练三【答案】-1【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即x＋1x＋a－x＝－x＋1x＋ax.显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.当堂检测1-3．ABA4．−35.17a.6．-287.f(m)＜f(0)8.【答案】(1)(0)0f，(1)0f；(2)2()fxxx.【解析】（1）∵fx是R上的奇函数，∴00f因为fx是R上的奇函数，又0x时，2fxxx所以110ff（2）当0x时，0x因为当0x时，2fxxx所以22fxxxxx又∵函数fx是R上的奇函数，即fxfx∴2fxxx所以当0x时，2fxxx