线性规划的图解法

第三节两个变量问题的图解法线性规划问题的求解方法一般有两种方法图解法单纯形法两个变量、直角坐标三个变量、立体坐标适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式下面我们分析一下简单的情况——只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。2第三节两个变量问题的图解法解（参见教材P21）解（参见教材P22）3第三节两个变量问题的图解法解（参见教材P23）解（参见教材P23）图解法maxZ=2X1+X2X1+1.9X2≥3.8X1-1.9X2≤3.8s.t.X1+1.9X2≤10.2X1-1.9X2≥-3.8X1，X2≥0练习：用图解法求解线性规划问题图解法x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)4=2X1+X220=2X1+X217.2=2X1+X211=2X1+X2Lo：0=2X1+X2（7.6，2）DmaxZminZ此点是唯一最优解，且最优目标函数值maxZ=17.2可行域maxZ=2X1+X2图解法若maxZ=3X1+5.7X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)（7.6，2）DL0：0=3X1+5.7X2maxZ（3.8，4）34.2=3X1+5.7X2蓝色线段上的所有点都是最优解这种情形为有无穷多最优解，但是最优目标函数值maxZ=34.2是唯一的。可行域图解法minZ=5X1+4X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)DL0：0=5X1+4X2maxZminZ8=5X1+4X243=5X1+4X2（0，2）可行域此点是唯一最优解图解法006346321212121xxxxxxxx、246x1x2246无界解(无最优解)maxZ=x1+2x2练习：x1+x2=4(≥)x1+3x2=6(≥)3x1+x2=6(≥)maxZminZx1x2O10203040102030405050无可行解(即无最优解)0,050305.140221212121xxxxxxxxmaxZ=3x1+4x2练习：线性规划的图解法图解法的基本步骤X*=(4,6)Tz*=421°画出可行域图形2°画出目标函数的等值线及其法线3°确定最优点maxz=3x1+5x2x1≤82x2≤123x1+4x2≤36x1,x2≥0s.t.x1x2O(0,0)x1=8A(8,0)2x2=12D(0,6)O(0,0)x1x2RD(0,6)C(4,6)B(8,3)A(8,0)z=15z=30z法向z*=42边界方程线性规划的图解法几点说明实际运用时还须注意以下几点:(1)若函数约束原型就是等式,则其代表的区域仅为一直线,而且问题的整个可行域R(若存在的话)也必然在此直线上。(2)在画目标函数等值线时只须画两条就能确定其法线方向,为此,只须赋给z两个适当的值。(3)在找出最优点后,关于其坐标值有两种确定方法:①在图上观测最优点坐标值②通过解方程组得出最优点坐标值图解法学习要点：1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式（唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解）2.作图的关键有三点：(1)可行解区域要画正确(2)目标函数增加的方向不能画错(3)目标函数的直线怎样平行移动线性规划的图解法几种可能结果一、唯一解如例1、例2都只有一个最优点，属于唯一解的情形。s.t.maxz=3x1+4x2x1≤82x2≤123x1+4x2≤36x1，x2≥0二、多重解z=12z*=36线段BC上无穷多个点均为最优解。O(0,0)x1x2RD(0,6)C(4,6)B(8,3)A(8,0)线性规划的图解法x1x2z*三、无界解3694812x1x2R2R1∩R2=Ø四、无可行解+∞R115