83直线平面平行的判定与性质

栏目索引考点清单方法技巧8.3直线、平面平行的判定与性质高考理数（课标专用）栏目索引考点清单方法技巧考点一直线与平面平行的判定与性质考点清单考向基础直线与平面平行的判定与性质文字语言图形语言符号语言 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.简称:线线平行,则线面平行 a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简称:线面平行,则线线平行 a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b栏目索引考点清单方法技巧行,也可能异面.(3)a∥α的判定定理和性质定理使用的区别:如果结论中有a∥α,则要用判定定理,在α内找与a平行的直线;若条件中有a∥α,则要用性质定理,找(或作)过a且与α相交的平面.注意(1)在推证线面平行时,一定要强调直线a不在平面内,直线b在平面内,且a∥b,否则会出现错误.(2)一条直线平行于一个平面,它可以与平面内的无数条直线平行,但这条直线与平面内的任意一条直线可能平栏目索引考点清单方法技巧考向一证明直线与平面平行考向突破例1(2017山西太原五中等名校联考,18)如图,在边长为3的菱形ABCD中,∠ABC=60°.PA⊥平面ABCD,且PA=3.E为PD的中点,F在棱PA上,且AF=1.(1)求证:CE∥平面BDF;(2)求点P到平面BDF的距离. 栏目索引考点清单方法技巧解析(1)证明:如图所示,取PF的中点G,连接EG,CG.连接AC交BD于O,连接FO. 由题可得F为AG的中点,O为AC的中点,∴FO∥GC,∵FO⊄平面GEC,GC⊂平面GEC,∴FO∥平面GEC.又G为PF的中点,E为PD的中点,∴GE∥FD.栏目索引考点清单方法技巧∵FD⊄平面GEC,GE⊂平面GEC,∴FD∥平面GEC,又FO∩FD=F,FO⊂平面BDF,FD⊂平面BDF,∴平面GEC∥平面BDF.∵CE⊂平面GEC,∴CE∥平面BDF.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA是三棱锥P-ABD的高,又PA=3,S△ABD= ×3×3× = ,∴VP-ABD= S△ABD·PA= ,同理,VF-ABD= S△ABD·FA= ,∴VP-BDF=VP-ABD-VF-ABD= .12329341393413334332栏目索引考点清单方法技巧∵S△BDF= BD· = ×3 × = ,设点P到平面BDF的距离为h,则VP-BDF= S△BDF·h= ,∴ × h= ,解得h= ,即点P到平面BDF的距离为 .12222BDDF123222331323394133321333943326131361313栏目索引考点清单方法技巧例2如图,在多面体ABCDEF中,DE⊥平面ABCD,AD∥BC,平面BCEF∩平面ADEF=EF,∠BAD=60°,AB=2,DE=EF=1. (1)求证:BC∥EF;(2)求三棱锥B-DEF的体积.考向二证明直线与直线平行栏目索引考点清单方法技巧解析(1)证明:∵AD∥BC,AD⊂平面ADEF,BC⊄平面ADEF,∴BC∥平面ADEF.又BC⊂平面BCEF,平面BCEF∩平面ADEF=EF,∴BC∥EF.(2)过点B作BH⊥AD于点H. ∵DE⊥平面ABCD,BH⊂平面ABCD,∴DE⊥BH.∵AD⊂平面ADEF,DE⊂平面ADEF,AD∩DE=D,∴BH⊥平面ADEF.栏目索引考点清单方法技巧∴BH是三棱锥B-DEF的高.在Rt△ABH中,∠BAD=60°,AB=2,故BH= .∵DE⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴DE⊥AD.由(1)知BC∥EF,且AD∥BC,∴AD∥EF,∴DE⊥EF.∴三棱锥B-DEF的体积V= S△DEF·BH= × ×1×1× = .3131312336栏目索引考点清单方法技巧考向基础平面与平面平行的判定和性质考点二平面与平面平行的判定与性质栏目索引考点清单方法技巧栏目索引考点清单方法技巧知识拓展1.与平面平行有关的几个常用结论(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等;(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行;(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例;(4)同一条直线与两个平行平面所成角相等.2.平行问题的转化方向图栏目索引考点清单方法技巧利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而应用性质定理时,其顺序正好相反.在实际的解题过程中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用.栏目索引考点清单方法技巧例1(2018河北衡水中学模拟,19)如图,直角梯形ABCD与梯形EFCD全等,其中AB∥CD∥EF,AD=AB= CD=1,且ED⊥平面ABCD,点G是CD的中点.(1)求证:平面BCF∥平面AGE;(2)求平面BCF与平面AGE间的距离. 12考向一证明平面与平面平行考向突破栏目索引考点清单方法技巧解析(1)证明:∵AB∥CD,AB= CD,G是CD的中点,∴四边形ABCG为平行四边形,∴BC∥AG.又∵AG⊂平面AEG,BC⊄平面AEG,∴BC∥平面AEG.∵直角梯形ABCD与梯形EFCD全等,EF∥CD∥AB,∴EF=AB,∴四边形ABFE为平行四边形,∴BF∥AE.又∵AE⊂平面AEG,BF⊄平面AEG,∴BF∥平面AEG.∵BF∩BC=B,∴平面BCF∥平面AGE. (6分)(2)设点C到平面AGE的距离为d.易知AE=EG=AG= . (7分)122栏目索引考点清单方法技巧连接EC、AC,由VC-AGE=VE-ACG,得 × AE2·sin60°·d= × CG·AD·DE,即d= = . (10分)∵平面BCF∥平面AGE,∴平面BCF与平面AGE间的距离为 . (12分)131213122sin60CGADDEAE3333栏目索引考点清单方法技巧例2(2017山西临汾三模,18)如图,梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,CD=2,AD=AB=1,四边形BDEF为正方形,且平面BDEF⊥平面ABCD. (1)求证:DF⊥CE;(2)如果AC与BD相交于点O,那么在棱AE上是否存在点G,使得平面OBG∥平面EFC?并说明理由.考向二平行关系中的存在性问题栏目索引考点清单方法技巧解析(1)证明:连接EB.∵梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,CD=2,AD=AB=1,∴BD= ,BC= ,∴BD2+BC2=CD2,∴BC⊥BD.∵平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,∴BC⊥平面BDEF,∴BC⊥DF.∵DF⊥EB,EB∩BC=B,∴DF⊥平面BCE.∵CE⊂平面BCE,∴DF⊥CE.22栏目索引考点清单方法技巧(2)在棱AE上存在点G,使得平面OBG∥平面EFC,且 = .∵AB∥DC,AB=1,DC=2,∴ = .∵ = ,∴OG∥CE,∵CE⊂平面EFC,OG⊄平面EFC,∴OG∥平面EFC.AGGE12AOOC12AGGE12∵EF∥OB,EF⊂平面EFC,OB⊄平面EFC,∴OB∥平面EFC,∵OB∩OG=O,∴平面OBG∥平面EFC.栏目索引考点清单方法技巧方法1证明直线与平面平行的方法1.利用线面平行的定义(此法一般伴随反证法证明).2.利用线面平行的判定定理.应用此法的关键是在平面内找与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边等.3.利用面面平行的性质:当两个平面平行时,其中一个平面内的任一直线都平行于另一个平面.方法技巧栏目索引考点清单方法技巧例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.求证:PQ∥平面BCE.解题导引 栏目索引考点清单方法技巧证明证法一:如图所示.作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD.又AP=DQ,∴PE=QB,又PM∥AB∥QN,∴ = = , = ,∴ = ,∴PM􀱀QN,即四边形PMNQ为平行四边形,∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE,∴PQ∥平面BCE.证法二:如图,在平面ABEF内,过点P作PM∥BE,交AB于点M,连接QM.PMABPEAEQBBDQNDCBQBDPMABQNDC栏目索引考点清单方法技巧∴PM∥平面BCE,且 = ,易知AE=BD,又AP=DQ,∴PE=BQ,∴ = ,∴ = ,∴MQ∥AD,又AD∥BC,∴MQ∥BC,APPEAMMBAPPEDQBQAMMBDQQB∵BC⊂平面BCE,MQ⊄平面BCE,∴MQ∥平面BCE,又PM∩MQ=M,∴平面PMQ∥平面BCE,又PQ⊂平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.栏目索引考点清单方法技巧方法2证明平面与平面平行的方法1.利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(主要方法)2.利用面面平行的判定定理的推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.3.证明两个平面都垂直于同一条直线.(客观题可用)4.证明两个平面同时平行于第三个平面.(客观题可用)栏目索引考点清单方法技巧例2(2018河南豫北六校联考,18)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别是B1C1,C1D1的中点.(1)求证:四边形BDFE为梯形;(2)求证:平面AMN∥平面EFDB. 栏目索引考点清单方法技巧解题导引 栏目索引考点清单方法技巧证明(1)连接B1D1.∵在△B1D1C1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,∴EF∥B1D1且EF= B1D1,又知四边形BDD1B1为矩形,∴BD􀱀B1D1,∴EF∥BD且EF= BD.∴四边形BDFE为梯形.(2)连接FM,在△A1B1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1的中点,∴MN∥B1D1.由(1)知,EF∥B1D1,∴MN∥EF.在正方形A1B1C1D1中,F为C1D1的中点,M为A1B1的中点,∴FM􀱀A1D1,1212栏目索引考点清单方法技巧又∵四边形ADD1A1为正方形,∴AD􀱀A1D1,∴FM􀱀AD,∴四边形ADFM为平行四边形.∴AM􀱀DF.又∵AM∩MN=M,DF∩FE=F,∴平面AMN∥平面EFDB.