3.1.1直线的倾斜角与斜率(优质课)

问题1：如何确定一条直线在直角坐标系的位置呢？两点或一点和方向问题2：如果已知一点还需附加什么条件，才能确定直线？一点和方向问题3：如何表示方向？用角yxo直线的倾斜角xyoαl我们取x轴为基准，x轴正向与直线向上的方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角。llpoyxlypoxlpoyxlpoyxl规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°1、直线的倾斜角由此我们得到直线倾斜角α的范围为：)180,0[ooxyol1l2l3看看这三条直线，它们倾斜角的大小关系是什么？想一想想一想你认为下列说法对吗？1、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量升高量前进量升高量坡度（比）问题引入定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：00tan,0180k2、直线的斜率倾斜角是90°的直线没有斜率。描述直线倾斜程度的量——直线的斜率则斜率为：的倾斜角为例如：直线,45l145tank则斜率为：的倾斜角为直线,120l3120tank想一想我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。如果知道直线上的两点，怎么样来求直线的斜率(倾斜角)呢？所以我们的问题是：3、探究：由两点确定的直线的斜率),(111yxP),(222yxP212112,,yyxxQPP且如图，当α为锐角时，能不能构造一个直角三角形去求？tankxyo1x2x1y2y),(12yxQ中在QPPRt12QPQPQPPk1212tantan1212xxyy锐角1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1y2y1212xxyyk思考？不存在不存在k)(90tan,90答：斜率不存在，因为分母为0。2、已知直线上两点、，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的顺序有关吗？),(21aaA),(21bbB1122ababkAB1122babakBA答：与A、B两点的顺序无关。3、直线的斜率公式：综上所述，我们得到经过两点),,(111yxP)(21xx),(222yxP的直线的斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或2P2P1P1P当x1=x2时,公式不适用,此时α=90o1.当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合时，用上述公式求斜率.2.当直线P1P2平行于y轴或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？由y1=y2，得k=0由x1=x2，分母为零，斜率k不存在四、小结：1、直线的倾斜角定义及其范围：18002、直线的斜率定义：aktan3、斜率k与倾斜角之间的关系：0tan18090)(tan900tan90000tan0akakaaakaka不存在不存在4、斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或)90(a例1、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？yxo..........ABC直线AB的斜率04822ABk2184)8(022BCk14404)2(2CAk直线BC的斜率直线CA的斜率0ABk∵∴直线CA的倾斜角为锐角∴直线BC的倾斜角为钝角。解：∵0CAk∴直线AB的倾斜角为零度角。∵0BCk例3在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4.xyol1l2l3l4思考：斜率随倾斜角逐渐变大是怎样的变化？例2.已知点A(3,2)，B(－4,1)，C(0,－l)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．练习：判断正误：②直线的斜率为，则它的倾斜角为（）tan③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率。（）①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为（）tan④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在（）⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大()[1,)(,1]0000[0,45)[135,180)(2)直线的倾斜角为，且则直线的斜率k的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿。(3)设直线的斜率为k，且，则直线11k0045135的倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿。例4、(1)直线的倾斜角为，且则直线的斜率k的取值范围是＿＿＿＿＿＿。004560[1,3]00129090kk小结：1.由（）（）得出：若的范围不含，则范围取中间若的范围含，则范围取两边k2.由（3）得：负k正，应将值分为正负两部分，再求角范围xyo练习、填空（1）若则k=________若3,________k则060（2）若，则；若)60,30(00____k_____),33,3(则k（3）若则的取值范围__________若则K的取值范围___00(60,150),)1,1(k301203(,3)300(120,150)000[0,45)(135,180)3(,)(3,)3(2).过点C的直线与线段ＡＢ有公共点，求的斜率k的取值范围ll例5：已知点，01AB（3，2），（-4，1），C（，）(1).求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角12114371110(4)212103ABBCCAkkk解：（）12]2（）k[1,+)(-,-锐角钝角锐角xyoABC22322tan244tan231tan71()4k解：一半2222122tan2tan3222tan,411tan1tan2213830,33kkkkkk解：由得：即解得：或（舍）例6：已知直线ＡＢ的斜率为，直线的倾斜角是直线ＡＢ的倾斜角的两倍，求直线的斜率．34ll332242lABkk解：错解的坐标求反射点后过点轴反射经过射出一条光线从例P,)3,8(Nx,2,2M4N(-8,3)M(2,2)P)0,x(P解：设因为入射角等于反射角PNMPKKx83x222x解得)0,2(P反射点