《数学》(基础模块)第四章

第4章指数函数与对数函数4.1实数指数幂4.2指数函数4.3对数4.4对数函数返回内容简介：本章完成了由正整数指数幂到实数指数幂及其运算的逐步推广过程，介绍了指数函数的概念、图像和性质，引入了对数概念及运算法则，并在此基础上，介绍了指数函数的概念、图像和性质.学习目标：理解有理数指数幂；掌握实数指数幂及其运算法则；了解幂函数，理解指数函数的图像和性质；了解指数函数的实际应用，理解对数的概念；掌握利用计算器求对数值；了解积、商、幂的对数、对数函数的图像和性质及对数函数的实际应用.概念一般地，如果有,1,nxaannRN，则x叫做a的n次方根.正数a的正n次方根叫做a的n次算术根.当na有意义的时候，na叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数.4.1实数指数幂4.1.1有理数指数幂（1）负数没有偶次方根.（2）0的任何次方根都是0，记作00n.提示归纳当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，都表示为na（n为奇数）.当n是偶数时，正数的n次方根有两个，他们互为相反数，分别表示为na，na（na,0为偶数）.思考等式aann一定成立吗？推广正分数指数幂定义为0,,,1mnmnaaamnnN；负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，定义为110,,,1mnmnmnaamnnaaN.至此，我们已经把整数指数幂推广到有理指数幂.运算法则对任意有理数、,有（1）aaa;（2）aa;（3）baab,其中0,0ba.4.1.2实数指数幂及其运算法则推广有理指数幂还可以推广到实数指数幂.一般地，当,0a为任意实数时，实数指数幂a都是有意义的.对任意实数、，运算法则（1）aaa;（2）aa;（3）baab,其中0,0ba，仍然成立.建议多做习题，熟练掌握运算法则.4.1.3幂函数举例下面给出几个常见幂函数的函数图像：返回概念一般地，形如的函数叫做幂函数，其中α为常数.)R(xy✎知识点精讲幂函数的图象幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.1．下列函数：①y＝1x3；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝3x2，其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：B2.幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x12的图象经过的“卦限”是()A．④⑦B．④⑧C．③⑧D．①⑤解析：由0x1时，y＝xx，x1时，y＝xx知，y＝x12的图象经过①⑤“卦限”．故选D.答案：D【典例剖析】(1)设α∈－1，1，12，3，则使函数f(x)＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为A．1,3B．－1,1，12C．－1,3D．－1,1,3－m3－m3(2)设则a，b，c的大小关系是A．acbB．abcC．cabD．bca(3)已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)＜(3－2a)的a的范围．题号分析(1)将α的值代入逐一验证即可．(2)底数相同时构造指数函数比较，指数相同时构造幂函数比较．(3)由题意知m2－2m－30，求得m后得f(x)，然后利用单调性解不等式即可.(1)解析：经验证知α＝1,3时满足条件．答案：A(2)解析：对于b、c，构造函数y＝25x，易知cb；对于a、c，构造y＝x25，易知ac.综上acb.答案：A(3)解：∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1或2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.而y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－13＜(3－2a)－13等价于a＋1＞3－2a＞0，或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或23＜a＜32.故a的范围为{a|a＜－1或23＜a＜32}．【活学活用】1．(1)已知f(x)＝x12，若0ab1，则下列各式正确的是()A．f(a)f(b)f1af1bB．f1af1bf(b)f(a)C．f(a)f(b)f1bf1aD．f1af(a)f1bf(b)解析：∵0ab1，∴0ab11b1a.又函数f(x)＝x12为增函数，∴f(a)f(b)f1bf1a.答案：C(2)若幂函数f(x)的图象经过点3，19，则其定义域为________．解析：设f(x)＝xα，由题意知3α＝19，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2，∴定义域为{x|x≠0}．答案：{x|x≠0}(3)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α＝________.解析：由已知函数为幂函数知k＝1，故f(x)＝xα，又22＝12α，∴α＝12，∴k＋α＝1＋12＝32.答案：324.2指数函数4.2.1指数函数及其图像和性质（1）定义域为R，值域为),0(；（2）函数图像均通过点1,0；（3）当1a时，该函数是增函数，如图（a）所示，当10a时，该函数是减函数，如图（b）所示.性质概念一般地，函数叫做指数函数，其定义域为R.10aaayx，＞返回函数y＝ax(a＞0，且a≠1)定义域R值域(0，＋∞)单调性递减递增函数值变化规律当x＝0时，_______当x＜0时，；当x＞0时，___________当x＜0时_______;当x＞0时，_______y＝1y＞10＜y＜10＜y＜1y＞1指数函数与幂函数有什么区别？思考【活学活用】1.(1)如图所示的是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc解析：令x＝1，由图象知c1d1a1b1，∴ba1dc.答案：B2．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1,5)B．(1,4)C．(0,4)D．(4,0)解析：令x＝1，得f(1)＝4＋a0＝5，故定点P的坐标为(1,5)．答案：A3．函数f(x)＝ax(0＜a＜1)，x∈[1,2]的最大值比最小值大a2，则a的值为________．解析：由已知可得a2＝a－a2(0＜a＜1)，解得a＝12.答案：124.为了得到函数935xy的图象，可以把函数3xy的图象()A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度【答案】C【解析】注意先将函数935xy转化为235xy，再利用图象的平移规律进行判断．∵293535xxy，∴把函数3xy的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935xy的图象，故选C．5．若函数()fx与1()2xgx的图象关于y轴对称，则满足()1fx的x的取值范围是（）A.RB.,0C.0,D.1,6.函数2()1xfxa在R上是减函数，则a的取值范围是（）A.1aB.2aC.2aD.12a7.已知01,1ab，则函数xyab的图像必定不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限概念4.3对数一般地，如果1,0aaNab，数b就叫做以a为底N的对数，记作Nbalog，其中a叫做底数，N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”.式子logaNb叫做对数式，式子baN叫做指数式.4.3.1对数的概念规定通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，把N10log记作Nlg.在科学技术中，常使用以无理数e2.71828为底的对数.以e为底的对数叫做自然对数，把elogN记作Nln.二、对数的性质与运算法则(1)对数的性质(a＞0且a≠1)：①loga1＝，②logaa＝；③alogaN＝；④logaaN＝.(2)对数的重要公式：①换底公式：logab＝logcblogca；(a＞0，a≠1且c＞0，c≠1)．②logab＝1logba(a，b0，且a，b≠1)．01NN性质和运算法则4.3.2积、商、幂的对数当0,0,10NMaa且时，我们可以得到如下对数运算法则：(1)NMNMaaalogloglog;(2)NMNMaaalogloglog;(3)loglognaaMnmnR.(4)logamMn＝mnlogaM.成立吗？1loglognaMMn思考与讨论4.4对数函数4.4.1对数函数及其图像和性质（1）定义域是),0(,值域是R；（2）图像都通过点1,0；（3）在定义域内，当1a时是增函数，如图（a）所示，当10a时是减函数，如图（b）.性质概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其定义域为，值域是R.10logaaxya，＞，0（a）（b）指数函数与对数函数有怎样的关系？思考与讨论返回1．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.答案：C2．已知a＝log22＋log23，b＝12log25，c＝log221－log23，则()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b解析：a＝log22＋log23＝log26，b＝12log25＝log25，c＝log221－log23＝log2213＝log27.∴c＞a＞b.答案：B3．已知函数f(x)＝lg1－x1＋x，若f(a)＝b，则f(－a)等于()A．bB．－bC.1bD．－1b解析：由1－x1＋x0得－1x1.又f(－x)＝lg1＋x1－x＝lg1－x1＋x－1＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：B4．函数y＝的定义域是________．解析：要使y＝有意义需使(3x－2)≥0，∴0＜3x－2≤1，即23＜x≤1，∴y＝的定义域为23，1.答案：23，15．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：∵log2x≤2，∴0＜x≤4.又∵A⊆B，∴a＞4，∴c＝4.答案：4【考向探寻】1．指数式与对数式的互化．2．对数式的化简或求值．【典例剖析】(1)计算：2(lg2)2＋lg2·lg5＋lg22－lg2＋1；(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；(3)已知：lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，求yx23log.题号分析(1)利用对数的运算法则及运算律进行运算与化简．(2)将m、n代入求值的式子，利用对数运算法则求解(3)根据条件求出的值即可.解：(1)原式＝lg2(2lg2＋lg5)＋lg2－12＝lg2(lg2＋lg5)＋1－lg2＝lg2＋1－lg2＝1.(2)a2m＋n＝a2loga2＋loga3＝aloga4＋loga3＝aloga12＝12.(3)由已知得lgxy＝lg(2x－3y