常微分方程期末考试练习题及答案.

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0(n≠0).1.常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程A.变量分离方程1.定义：形如dxdy=f（x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f（x），φ（x）分别是x，y的连续函数。2.解法：分离变量法cdxxfydy)()(.（*）说明：a由于（*）是建立在φ（y）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中）b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2dyxxydx解：由题意分离变量得：042ydyxdx即：0)141(41ydydxxx积分之，得：cyxxln)ln4(ln41故原方程通解为：cxyx4)4(（c为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。*例2.若连续函数f（x）满足2ln)2()(20dttfxfx，则f（x）是？解：对给定的积分方程两边关于x求导，得：)(2)('xfxf（变上限求积分求导）分离变量，解之得：xCexf2)(由原方程知：f（0）=ln2，代入上解析式得：C=ln2，B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知条件，设法将其转化为已经解决的问题来解决。故可把一些常微分方程方程，通过适当变形，转化为大家熟悉的变量分离方程，进而解决之。类型1.1.形式：形如)(xygdxdy（2.2）的方程，此类方程称为齐次微分方程，这里g（u）是u的连续函数。1.解法：作变量变换u=xy，（2.3）即y=ux，从而：udxduxdxdy（2.4）将（2.3）（2.4）代入（2.2），则原方程变为：xuugdxdu)(这是一个变量分离方程，可按照A中的方法求解。例3.求解方程：2)(yxdxdy解：令u=x+y，则y=u-x，于是：1dxdudxdy于是，原方程可化为：21udxdu分离变量得：dxudu12积分之，得：arctanu=x+c变量回代，既得方程之通解：arctan（x+y）=x+c例4求解方程0)ln(lnydxdyyxx.解：由题意可得：0lndxxydyyx，即：xyyxdydxln（2.5）令uyx，则uyx，于是：uydydudydx，代入（2.5）得：1lnuuuydydu，分离变量，并整理得：ydyuudu)1(ln两边积分得：ydyuudu)1(ln，令u=te则有：ydydtt11，从而有：cytlnln1ln（c0）.即：cyt1，变量回代得：ycyx1ln+1(cc1)类型二：形式：)(222111cbxacybxafdxdy解法：1.当c1=c2=0时，)()()(22112211xygxybaxybafybxaybxafdxdy转化为齐次方程。2.当2121bbaa时，)())((22222122ybxagcybxacybxafdxdy,22uybxa则)(212222cucfbadxdybadxdu从而可转化为变量分离方程。3.当2121bbaa且21,cc不全为零时，解方程组｛00222111cybxacybxa，求交点),(,令x=X+α，Yy，则原方程化为：)(XYdYdX这是齐次方程。例5.求解方程1212yxyxdxdy.解：｛012012yxyx得交点｛3131yx，令｛3131YyXx代入原方程有：YXYXdXdY22令uXY，则uXY，于是：uXdXdudXdY，从而有：uuuXdXdu212，整理得：XdXduuuu21212，两边积分之，得：XdXuuuud21)1(22，即：12lnln2)1ln(cXuu（c10）即：2121Xcuu，变量回代，并整理得：cxyyxyx22（c1-31=c）例6.求解方程25yxyxdxdy.解：令yxu，则y=xu，从而：dxdudxdy1，代入原方程，得：251uudxdu，整理得：dxduu27，分离变量得：dxduu7)2(，两边积分之：cxuu2172122，变量回代，并整理得：cxyyxyx241022（c是任意常数）C.线性微分方程和常数变易法1.形式：形如)()(xQyxpdxdy的一阶方程称为一阶线性方程.当0)(xQ时，称之为齐次的，否则称之为非齐次的.2.解法：利用常数变易法求解。其解为：))(()()(cdxexQeydxxpdxxp.下面用具体的题目体现这一思想.注意：在用公式求解一阶线性方程时，一定要化为标注标准式（dxdy的系数为1），否则易出错.例7求方程xydxdysin的通解.解：首先求线性齐次方程ydxdy的通解，分离变量得：dxydy，两边同时积分，得：xcey，因而可设原方程的通解为：xexcy)(，则)()(xceedxxdcdxdyxx，将之入原方程，得：xexcxceedxxdcxxxsin)()()(，即：xxedxxdcsin)(，两边积分得：dxxexcxsin)(，而)(sinsinxxexddxxe=)(sinsinxdexexx=xdxexexxcossin=)(cossinxxexdxe=)(coscossinxdexexexxxxdxexxexxsin)cos(sin从而：)cos(sin21)(xxexcx（这里没加常数），从而通解为：)cos(sin21xxy.D.伯努利方程及其解法1.形式：形如nyxQyxpdxdy)()(（1,0n）的方程称为伯努利方程.2.解法：在方程两边同时成乘以,ny做代换nyz1，则伯努利方程转化为新的未知函数z的线性方程)()1()()1(xQnzxpndxdz，从而可用C中方法解决之.注意：n0时，方程还有解y=0.例8.求方程26xyxydxdy的通解.解：方程两边同乘2y，得：xyxydxdyy226，即：xxydxdyy162（2.12）令1yz，则dxdyydxdz2，将之代入（2.12）得：xzxdxdz6.（2.13）616xczxdxzdz,记（2.13）之通解为：61)(xxcz，于是：7161)(6)(xxcxdxxdcdxdz，将以上两式代入（2.13）得：xxxcxxxcxdxxdc61716)(6)(6)(71)(xdxxdc，cxxc8)(81628xcxz，变量回代得原方程之通解为：6281xcxy，此外，方程还有解y=0.例9.解方程33yxxydxdy.解：这是n=3时的伯努利方程，令z=231yy，则方程可化为：322xxzdxdz，这是一阶线性方程，应用公式得：)2(232cdxexezxdxxdx=)1(22xecx这样，方程之通解为：11222xceyx，另外，方程有解：y=0.E.恰当微分方程与积分因子1.形式：对于一阶方程0),(),(dyyxNdxyxM（2.14）如果其左端是某一函数),(yxu的全微分，即dyyxNdxyxMyxdu),(),(),(，则称此方程为恰当微分方程.2.条件：若（2.14）中的),(),,(yxNyxM在某一单连通区域D有一阶连续的偏导数，则（2.14）为恰当微风方程的充要条件为：xNyM，Dyx),(.3.解的形式：cu.4.解法：a.朴素化简法：由Mxu，得)(),(),(ydxyxMyxu，再由Nyu，得4)(yy)(),(),(,ydxyyxMyxN由上式解得)(,y，在积分之既得)(y.(当然这种解法具有对称性)b.分项组合法：通过例题予以说明.（宜熟记课本54页（2.55））c.利用原函数之积分仅与起始点有关，而与道路无关求解.（旨在提醒有此法，一般不用）例10.求0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.解：这里322246,63yyxNxyxM，此时：xyyNxyyM12,12因此为恰当微分方程.a.朴素化简法.令2263xyxxu（2.15）3246yyxyu（2.16）对（2.15）关于x积分，得)(3223yyxxu（2.17）对（2.17）两边关于y求导，并对照（2.16），得：32246)(6yyxdyydyxyu，于是34)(ydyyd积分之，得：4)(yy，将4)(yy代入（2.17），得：42233yyxxu，从而通解为：cyyxx42233b.分项组合法.将上面方程重新组合得：0)66()43(2232ydyxdxxydyydxx，即：0)3()()(2243yxdydxd，亦即：0)3(2243yxyxd，从而通解为:cyxyx22433.（此种方法需要多观察）例11求解方程0)(11)(2222dyyxxydxxyxy.解：因为：32222)(2)(11)(yxxyyxxyxxyxyy，故此方程为恰当微分方程.分项组合得：0)()(112222yxdyxyxdxydxxdyy，即0)ln(lnyxxyxyd，从而方程之通解为：cyxxyxyln.5.定义：能使非恰当微分方程0),(),(dyyxNdxyxM变成恰当微分方程的连续可微函数u（x，y）（0),(yxu），称之为该方程的积分因子.即0),(),(),(),(dyyxNyxudxyxMyxu，满足xuNyuM.5.积分因子(只与x，y有关)的求解：a.与x有关的积分因子.由)(xNxNyM得：dxxeu)(，b.与y有关的积分因子.由)(yMxNyM得：dxxeu)(.例12.求方程02)3(2xydydxyex的通解.解：由于xxyyyyyex)2(26)3(2，故此方程不是恰当微当微分方程。又xxyyy2226，故方程有只与x有关的22)(xexudxx.这样，在原方程两边同乘2x得：02)3(3222