建模论文

玉林师范学院数学与信息科学学院《数学建模》课程论文（2011—2012学年度第二学期）姓名：韦江彦京专业：数学与应用数学班别：数本102班年级：2010级学号：201004402227日期：2012年6月25日如何合理均衡膳食摘要“均衡膳食”数学模型是通过每日人体所需营养物质的探讨及制定出最优经济付出来实现健康饮食的目的。由于人体每天所需的营养物质如蛋白质、脂类、能量、各种矿物质等对人体机能的调节和促进新陈代谢都具有极其重要的影响，尤其对当代大学生而言，经济未独立，学习任务繁重，因此，充足而合理的营养，良好的饮食习惯对大学生的体质、预防各种疾病，提高健康水平具有十分重要的意义。通过互联网收集了收集我国主要食物营养成分表（附表1）；我国营养学会推荐合理膳食的构成指标中如蛋白质、脂肪、碳水化合物、钙等每天供给量的相关数据（见附表2）；收集玉林市的主要食品价格（见附表3）；收集我校学生食堂的主要食物品种（见附表4）。并且了解到，从营养科学的角度来讲，能使营养需求与膳食供给之间保持平衡状态，热能及各种营养素满足人体生长发育、生理及体力活动的需要，且各种营养素之间保持适宜比例的膳食，叫平衡膳食。科学研究结果表明，营养素摄入量与其需求量之间的偏差不超过10%是合理的。因此，根据这种理念，我们先作出了一些合理的假设，然后以天为基本周期，建立了以满足营养需求为约束条件，考虑到大学生消费水平，以所花费用最低为目标函数的线性规划模型。代入一组具体数据，求解这个模型，得出一组相应的食物摄入量（表1），可以看出其中干豆坚果类与油脂类摄入量均为0，结果不太合理。同时实际情况中，人不可能每天摄入的营养量完全一样，有时甚至会出现较大差异，因此人均每天营养需求量并不能严格做为约束条件。平衡膳食宝塔（图1）给出了人均每天每类食物摄入量的一个范围，一份食谱中各类事物的摄入量在平衡膳食宝塔给出的范围内浮动是合理的。鉴于此，我们对模型Ⅰ进行了改进，定义营养摄入合理度为各种营养的实际摄入量与需求量的相对偏差的绝对值的平均值。以每日营养素摄入量至少满足最低需求、食物每日摄入量在平衡膳食宝塔给出的需求范围内为约束，以所需花费最少和营养摄入合理度最高为目标函数。对这个多目标规划，我们采用熵值法将多个目标加权组合形成一个新的目标，考虑到两个目标的量纲不同，我们定义消费合理度为实际花费与人均每天饮食消费的相对偏差的绝对值，以它和营养摄入合理度的加权组合作为目标函数，以每日营养素摄入量至少满足最低需求、食物每日摄入量在平衡膳食宝塔给出的需求范围内为约束，将模型Ⅰ优化成一个线性规划模型Ⅱ。我们给定3组权值，得出3组饮食方案(表5)。通过与标准值的对比，能够看出模型Ⅱ的解已基本满足需求关键词：均衡膳食、营养物质、经济未独立、大学生一、问题重述随着生活水平的提高，日常膳食营养结构调整越来越受到人们的重视。人们从日常饮食中获取各种营养成分，人体必需的营养素种类繁多，没有一种天然食物能满足人体所需的全部营养素，因此食物多样化是平衡的最基本要求。同时，不同地区、不同年龄、不同性别人群对各种营养素的需要量也有所不同，各种营养素对人体的正常生理机能需求的重要程度也不同，因此世界卫生组织、中国营养学会分别制定了各种营养素的每日供给量标准。另一方面，随着经济发展、生活水平提高，人们能够获取的食物日益丰富，进行科学平衡的膳食已具备可能性。(1)请你们收集我国营养学会推荐合理膳食的构成指标中如蛋白质、脂肪、碳水化合物、钙等每天供给量的相关数据；收集我国主要食物营养成分表；收集玉林市的主要食品价格；收集我校学生食堂的主要食物品种。（2）根据你们收集的数据，针对家庭经济较困难的学生，建立数学模型，安排一日三餐的平衡膳食方案，要求符合合理膳食的构成指标，并且花费越少越好。二、问题分析本文研究的是平衡膳食的食谱问题。对食谱有三方面的要求：一、必需是平衡的膳食方案，即能使营养需求与膳食供给之间保持平衡状态，热能及各种营养素满足人体生长发育、生理及体力活动的需要，且各种营养素之间保持适宜比例；二、食谱要具有可执行性，即食谱中给出的食物的总价格要合理，不能太高。对于膳食平衡，若要求营养摄入量严格等于营养需求，理论上是很合理的，但事实上人不可能每天摄入的营养量完全一样，有时甚至会出现较大的偏差。科学研究结果表明，营养素摄入量与其需求量之间的偏差不超过10%是合理的。根据这种想法，我们在作出一些合理假设的前提下，以天为基本周期，建立了以满足营养需求为约束条件，考虑到大学生的消费水平，以所花费用最低为目标函数的线性规划模型Ⅰ。但从平衡膳食宝塔可知，食物的摄入量也应做为约束条件，一份食谱中各类食物的摄入量需在平衡膳食宝塔给定的范围内波动才是合理。此外，热量需求必需大于基本需求量，这也应是约束条件之一。反观一天摄入的营养来说，并不是有十分严格的要求，ＲＤＡ表中的数值可以认为是一段时期内的平均值，而不是一天内的必须量。由此我们认为约束条件就应更改为每日营养素摄入量至少满足最低需求、食物每日摄入量在平衡膳食宝塔给出的需求范围内。建立起来的第一个模型很粗糙，很多因素没有考虑到。鉴于此，我们必须对前面的模型进行改进，除了约束条件不同外，目标函数也应不同，没有以营养满足需求为约束，就存在求得的方案的营养摄入是否合理的问题，所以定义营养摄入合理度为各种营养的实际摄入量与需求量的相对偏差的绝对值的平均值。以所需花费最少和营养摄入合理度最小为目标函数。对这个多目标规划，我们采用加权组合的方式将多个目标组合形成一个新的目标。又考虑到两个目标的量纲不同，我们定义消费合理度为实际花费与人均每天饮食消费的相对偏差的绝对值，以它和营养摄入合理度的加权组合作为目标函数，以每日营养素摄入量至少满足最低需求、食物每日摄入量在平衡膳食宝塔给出的需求范围内为约束，将先前的模型优化成一个多目标规划模型。这个改进模型Ⅱ的求解要复杂一些，由于两个合理度概念都用到了绝对值，而恰恰目标是求最小值，这样就可以为每个合理度分配两个非负变量，令合理度的值为两变量之差，目标就改为求两变量之和最小。将非线性规划转化为线性规划，在求解上就简易许多。通过改变营养摄入合理度与消费合理度的权值，可得到不同的膳食方案，加以分析。三、符号说明定义符号说明单位备注人均饮食消费水平元消费合理度第i种食物的食用量以百克为单位第i种食物的价格元/公斤第i种食物的食部，即每一百克食品i中的可食用部分所占的百分比第j种营养的需求量第j种营养的摄入合理度1j第i种食物中第j种营养的含量第k类食物的最小摄入量百克第k类食物的最大摄入量百克0-1变量，其值为1表示摄入第i种食物，为0表示不摄入第i种食物0-1量，是求解之前的已知量，根据地方特点和人群制定其值，为1表示方案中必须包含第i种食物，为0表示可有可无；如果摄入第i种食物的话，该食物的最小摄入量，默认取0百克如果摄入第i种食物的话，该食物的最大摄入量，默认取5百克四、模型假设（1）某一人群中，每个人的身体素质、营养素需求量相同，且均为正常健康水平；（2）膳食平衡只考虑营养素摄入量之间的平衡，不考虑其它方面的平衡；（3）该地区食物来源充足，进行科学平衡的膳食已具备可能；（4）营养需求量以天为基本单位，当天的摄入量对第二天没有影响；（5）每天能量供应必须充足，蛋白质，脂肪，碳水化合物提供足够的能量后，剩余部分不再供能；（6）每天只通过三餐进食获取营养；（7）食物的价格不变。五、模型建立要针对平衡膳食问题进行建模，必须有相关的数据。由于题目中没有给出任何数据，所以我们通过互联网获得了以下数据：1、中国居民膳食指南和平衡膳食宝塔（图），通过平衡宝塔了解到食物共分9类，分别是谷薯类、干豆坚果类、蔬菜类、水果类、肉类、乳制品类、蛋类、鱼虾蟹类。各类的摄入量范围也包含其中；2、各种食物的食部和所含各种营养成分（表），我们取了常见的96种食物作为考虑对象，9类都有涉及；3、根据ＲＤＡ表和营养成分表，我们选取20种常见的营养作为考虑对象，而且碳水化合物的需求量近似等于所需热量的60%，1克碳水化合物可以转化为4kcal的热量，据些可以计算出碳水化合物的需求量。最终我们共考虑21种营养。4、饮食营养卫生的相关信息，主要是哪些食物相克，不宜同时食用。这个模型求解的结果应是计算出合理的饮食方案，是一个规划问题。可以通过建立线性规划模型来做出较为合理的方案。模型Ⅰ5.1.1模型建立平衡膳食，最重要的是营养合理，根据所获得的数据显示，摄入营养量与需求量的偏差应不大于10%，可将它作为模型的约束条件。显然这样可以保证求得的方案一定能够满足营养需求。在此基础上，最优的方案通常就是消费最低，用最少的钱买到营养合理的食物，可以视为满足了营养特点与大众经济水平的需求。营养共有21种，每种营养的摄入量为：第1种营养为热量，因为热量的获得不仅仅是通过食物本身，也通过摄入的蛋白质、脂肪、碳水化合物转化，所以表达式不同。转化关系为：蛋白质：1g＝4kcal；脂肪：1g＝9kcal；碳水化合物：1g＝4kcal。摄入总热量表达式为：总花费表达式为：由以上分析得到线性规划模型如下：5.1.2模型求解运用Lingo9.0软件进行求解，解得各食物摄入量（表1），可以直观的看出干豆坚果类和油脂类摄入量为0，这显然与实际条件不符。5.1.3模型评价模型Ⅰ求解的结果一定满足营养需求，而且使得花费最少，但是实际生活中的膳食方案要求每类食物都有一定量的摄入，不可能出现我们称这为“偏食”的情况。此模型只是理论上满足营养需求，不能够很好的与实际相符。模型Ⅱ5.2.1模型建立针对模型Ⅰ的主要缺点，即不能满足每类食物的摄入量，我们改变思路。每类食物摄入量的表达式为：谷类：111iiX干豆坚果类：2412iiX蔬菜类：5625iiX水果类：6557iiX肉类：7466iiX乳制品类：7775iiX蛋类：8278iiX鱼虾蟹类：9283iiX油脂类：9693iiX如果向模型Ⅰ中增加每类食物摄入量的约束条件，有可能会与营养摄入里的约束产生较大的冲突。根据食物的营养成分表可知，各种食物所含的营养成分及其数量都是定值，一旦确定了食物摄入量的范围，也就确定了营养摄入量的范围，虽然这个范围我们并清楚，但是它有可能与模型Ⅰ中原本的营养约束条件产生冲突。实际生活中，我们每天摄入的食物量大体一定，但摄入的营养量却有可能差别较大，如果某一天某人摄入的营养过量，而接下来几天都没有摄入这种营养或摄入很少，也是正常的现象。ＲＤＡ表中给出的数据是一个平均值，特别是对于矿物质，是一个长期吸收的过程。这个模型是以天为单位的，所以针对每一天营养需求的约束可以适当放宽，我们规定每种营养的摄入量不少于需求量的70%。但是一个合理的膳食方案对于营养的摄入量应该非常靠近需求。于是我们定义营养摄入合理度为：一种营养的实际摄入量与需求量之间的相对偏差的绝对值。其表达式为：当j＝1时，即营养为能量，根据假设（5），能量的摄入合理度必为0，所以不用考虑。当j＝3时，也就是考虑到脂肪，在ＲＤＡ表中它的数值表示的脂肪提供的能量占总能量的百分比，所以表达式与其它营养不同。从营养摄入合理度的定义可以看出，其值越小，就表示摄入的能量与需求量越接近，也就越合理。为了要给出一份较好的膳食方案，营养摄入合理度的值越小越好。故而增加目标，以20种营养的合理度之和最小为目标，与模型Ⅰ中的总花费最少构成多目标规划。由以上分析得到规划模型如下：5.2.2模型求解这是多目标规划，采取加权组合的方式将它们化为单目标规划，但是显然两目标的量纲不统一，一个是元，一个是无量纲，为了统一量纲，对消费最低的目标进行无量纲化。所谓的消费最低，是为了满足大众经济水平，随着社会的发展，人们的生活日益富裕，对消费最低的需求会越来越少，而是转为考虑消费是否合理，据此，我们定义消费合理度为：实际消费与人均消费的相对偏差的绝对值。其表达式为：消费合理度的意义很清楚，其值越低，越容易被人接受。与追求价格最低相比，用消费合理度来衡量效果要更加显著，因为这样就可以在能够支出