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小明文库~2017学年度第一学期期中测试高三数学期中试卷(理)(试卷满分:150分考试时间:120分钟)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.)1.已知全集1,2,3,4U,集合{1,2}A,则UAðA.{4}B.{3,4}C.{3}D.{1,3,4}2.设命题2:,2npnnN,则p为A.2,2nnnNB.2,2nnnN≤C.2,2nnnN≤D.2,2nnnN3.为了得到函数3lg10xy的图象,只需把函数lgyx的图象上所有的点A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度4.若x,y满足010xyxyx≤,≤,≥,则2zxy的最大值为A.0B.1C.32D.25.等比数列na满足11353,21,aaaa则357aaaA.21B.42C.63D.846.已知xR,则“”是“sin()sinxx”的小明文库.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.定义在R上的偶函数)(xf满足)()1(xfxf,且在区间[1,0]上单调递增,设)3(fa,)2(fb,)2(fc,则cba,,大小关系是A.abcB.acbC.bcaD.cba8.已知函数22,0()ln(1),0xxxfxxx≤,若()fxax≥,则实数a的取值范围是A.(,0]B.(,1]C.[2,1]D.[2,0]二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分.)9.设i是虚数单位,则1i1i.10.执行如图所示的框图,输出值x.11.若等差数列{}na满足7890aaa,7100aa,则当n________时,{}na的前n项和最大.12.已知)(xf是定义在R上的奇函数.当0x时,xxxf4)(2,则不等式()0xfx的解集为______.13.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米200元,侧面造价是每平方米100元,则该容器的最低总造价是________元.14.已知函数()yfx,任取tR,定义集合:{|tAy()yfx,点(,())Ptft,(,())Qxfx满足||2}PQ≤.设,Mmtt分别表示集合At中元素的最大值和最小值,记()htMmtt.则(1)若函数()fxx,则(1)h=______;小明文库(2)若函数π()sin2fxx,则()ht的最小正周期为______.三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)15.(本题满分13分)集合2{|320}Axxx,11{|28}2xBx,{|(2)()0}Cxxxm,其中mR.(Ⅰ)求AB;(Ⅱ)若()ABC,求实数m的取值范围.16.(本题满分13分)已知na是等差数列,满足13a,412a,数列nb满足14b,420b,且nnba是等比数列.(Ⅰ)求数列na和nb的通项公式;(Ⅱ)求数列nb的前n项和nS.17.(本题满分13分)已知函数()4sincos6fxxx,xR.(Ⅰ)求函数()fx的单调减区间;(Ⅱ)求函数()fx在0,2上的最大值与最小值.18.(本题满分13分)已知函数1()ln(1)01xfxaxxx≥,其中0a.(Ⅰ)若1a,求()fx的单调区间;(Ⅱ)若()fx的最小值为1,求a的取值范围.小明文库.(本题满分14分)设函数()lnexbfxaxx,曲线()yfx在点1,1Pf处的切线方程为e(1)2yx.(Ⅰ)求,ab;(Ⅱ)设2()e0exgxxx,求()gx的最大值;(Ⅲ)证明函数()fx的图象与直线1y没有公共点.20.(本题满分14分)对于集合M,定义函数1,,().1,MxMfxxM对于两个集合,MN,定义集合{()()1}MNMNxfxfx.已知{2,4,6,8,10}A=,{1,2,4,8,16}B=.(Ⅰ)写出(1)Af和(1)Bf的值,并用列举法写出集合AB;(Ⅱ)用()CardM表示有限集合M所含元素的个数,求()()CardXACardXB的最小值;(Ⅲ)有多少个集合对,PQ,满足,PQAB,且()()PAQBAB?小明文库参考答案一.选择题(每小题5分,共40分)题号12345678答案BCCDBADD二.选择题(每小题5分,共30分)9i101211812,44,131600142215.解:(Ⅰ)2{|320}1,2Axxx;11{|28}0,42xBx;所以1,2AB;(Ⅱ)0,4AB,若2m,则2,Cm,若0,4ABC,则4m;若2m,则C,不满足0,4ABC,舍;若2m,则,2Cm,不满足0,4ABC,舍;综上4,m.16.解:(Ⅰ)设等差数列na的公差为d,由题意得41123333aad.所以1(1)3,naandnnN.设等比数列nnba的公比为q,由题意得344112012843baqba,解得2q.所以11112nnnnbabaq.从而11232,nnnnbannN.小明文库(Ⅱ)由(Ⅰ)知132,nnbnnN.123nnSbbbb01211(32)(62)(92)(32)2nnn0121(3693)(2222)nn(33)12212nnn2332122nnn所以,数列nb的前n项和为2332122nnn.17.解:()4sincos6fxxx314sincossin22xxx223sincos2sinxxx3sin2cos21xx312(sin2cos2)122xxπ2sin(2)16x.(Ⅰ)令3222,262kxkkZ,解得263kxk,所以函数()fx的单调减区间为2[+,],63kkkZ.(Ⅱ)因为02x,所以72666x,所以1sin(2)126x,于是12sin(2)26x,所以2()1fx.当且仅当2x时()fx取最小值min()()22fxf;当且仅当262x,即6x时最大值max()()16fxf.18.解:定义域为0,.22222()1(1)(1)(1)aaxafxaxxaxx.(Ⅰ)若1a,则221()(1)(1)xfxxx,令()0fx,得1x(舍1).x(0,1)1(1,)()fx0()fx极小值小明文库时,()fx的单调增区间为(1,),减区间为(0,1).(Ⅱ)222()(1)(1)axafxaxx,∵0,0,xa∴10.ax①当2a时,在区间(0,)'()0,fx上,∴()fx在1,单调递增,所以()(0)1;fxf的最小值为②当02a时,由22'()0,'()0,aafxxfxxaa解得由解得∴()),aafxaa2-2-的单调减区间为(0,单调增区间为(,).所以()fx在2axa处取得最小值,注意到2()(0)1,affa,所以不满足综上可知,若()fx得最小值为1,则a的取值范围是[2,).19.解:()fx(I)函数的定义域为(0,+),2()lnlnln.xxxbbabbfxaxeaxeaxexxxxx(1)2,(1).ffe由题意可得21,.abe故(Ⅱ)2(),'()(1)xxgxxegxexe则.(0,1)()0;(1,)()0.()1()(0,)(1).xgxxgxgxgxge所以当时当时,故在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减,从而在的最大值为(Ⅲ)12()ln,xxfxexex由(I)知又0(1)ln12=21,fee于是函数()fx的图象与直线1y没有公共点等价于()1fx。2()1ln.xfxxxxee而等价于()ln,()ln1.hxxxhxx设函数则11(0,)()0;(,)()0.xhxxhxee所以当时,当时,小明文库(),()11().hxhxeehee故在(0,)单调递减,在()单调递增,从而在(0,+)的最小值为由(Ⅱ)知0()(),()1.xhxgxfx综上,当时,即20.解:(Ⅰ)(1)=1Af,(1)=1Bf-,{1,6,10,16}AB.(Ⅱ)根据题意可知:对于集合,CX,①aCÎ且aXÏ,则(({})()1CardCXaCardCX;②若aCÏ且aXÏ,则(({})()1CardCXaCardCX.所以要使()()CardXACardXB的值最小,2,4,8一定属于集合X;1,6,10,16是否属于X不影响()()CardXACardXB的值;集合X不能含有AB之外的元素.所以当X为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,()()CardXACardXB取到最小值4.(Ⅲ)因为{()()1}ABABxfxfx,所以ABBA.由定义可知:()()()ABABfxfxfx.所以对任意元素x,()()()()()()()ABCABCABCfxfxfxfxfxfx,()()()()()()()ABCABCABCfxfxfxfxfxfx.所以()()()()ABCABCfxfx.所以()()ABCABC.由()()PAQBAB知:()()PQABAB.所以()()()()()PQABABABAB.所以PQ.所以PQ,即PQ=.小明文库因为,PQAB,所以满足题意的集合对,PQ的个数为72128.
本文标题:北京市第四中学2017届高三上学期期中考试数学理试题
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