专题能力训练10高中数学三角变换与解三角形

1专题能力训练10三角变换与解三角形专题能力训练第26页一、能力突破训练1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=√+1,b=2,A=,则B=()ABCD或答案:C解析:由余弦定理可得a=√-=√√-√√由正弦定理可得sinB=√√√∵ba,∴B为锐角,∴B=2.已知-(-)=-√,则sinα+cosα等于()A.-√B√CD.-答案:D解析:-(-)=-(-)(-)(-)=2cos(-)√cosα+√sinα=-√,∴sinα+cosα=-,故选D.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=√ac,则角B的值为()ABC或D或答案:D解析:由(a2+c2-b2)tanB=√ac,得-√,即cosB=√,则sinB=√∵0Bπ,∴角B=或故选D.24.在△ABC中,∠ABC=,AB=√,BC=3,则sin∠BAC等于()A√B√C√D√答案:C解析:在△ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BCcos∠ABC=(√)2+32-2√3cos=5.解得AC=√由正弦定理,得sin∠BAC=√√√√5.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割值约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin18°.若m2+n=4,则√°=.答案:2√解析:因为m=2sin18°,m2+n=4,所以n=4-m2=4-4sin218°=4cos218°,所以√°°°°√°°°=2√6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.答案:解析:因为cosA=,cosC=,且A,C为△ABC的内角,所以sinA=,sinC=,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=又因为,所以b=7.(2018全国Ⅱ,理15)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.答案:-解析:∵(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=1,∴sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sinαcosβ+2sinβcosα=1+1+2sin(α+β)=1.∴sin(α+β)=-8.(2019北京,理15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-(1)求b,c的值;3(2)求sin(B-C)的值.解：(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-2×3×c(-)因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c(-)解得c=5,所以b=7.(2)由cosB=-,得sinB=√由正弦定理,得sinC=sinB=√在△ABC中,∠B是钝角,所以∠C为锐角.所以cosC=√-所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=√9.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a2+c2-√ac=b2.(1)求sinB的值;(2)如图,若∠BAC=2B,D是边BC上一点,AD⊥AC,且AD=6,求△ABD的面积.解：(1)由a2+c2-√ac=b2及余弦定理,得cosB=-√又由B∈(0,π),得sinB=√(2)∵∠BAC=2B,∴sin∠BAC=2sinBcosB=√,cos∠BAC=2cos2B-1=-,sin∠BAD=sin(-),cos∠BAD=√∴在△ABD中,由,得BD=√4又sin∠ADC=sin(B+∠BAD)=√,∴△ABD的面积S△ABD=AD·BD·sin(π-∠ADC)=6√√=5√10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sinA+sinC的取值范围.答案：(1)证明由a=btanA及正弦定理,得,所以sinB=cosA,即sinB=sin()又B为钝角,因此+A(),故B=+A,即B-A=(2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π-()-2A0,所以A(),于是sinA+sinC=sinA+sin(-)=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2(-)因为0A,所以0sinA√,因此√-2(-)由此可知sinA+sinC的取值范围是(√]11.设f(x)=sinxcosx-cos2()(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f()=0,a=1,求△ABC面积的最大值.解：(1)由题意知f(x)=()-=sin2x-由-+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x+kπ,k∈Z;5由+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是[-](k∈Z);单调递减区间是[](k∈Z).(2)由f()=sinA-=0,得sinA=,由题意知A为锐角,所以cosA=√由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得1+√bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+√,且当b=c时等号成立.因此bcsinA√所以△ABC面积的最大值为√二、思维提升训练12.若0α,-β0,cos(),cos(-)√,则cos()等于()A√B.-√C√D.-√答案:C解析:∵cos(),0α,∴sin()√又cos(-)√,-β0,∴sin(-)√,∴cos()=cos[()-(-)]=cos()cos(-)+sin()sin(-)=√√√√613.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.当√sinA-cos()取最大值时,角A的大小为()ABCD答案:A解析:由正弦定理,得sinCsinA=sinAcosC.因为0Aπ,所以sinA0,从而sinC=cosC.又cosC≠0,所以tanC=1,则C=,所以B=-A.于是√sinA-cos()√sinA-cos(π-A)=√sinA+cosA=2sin()因为0A,所以A+,从而当A+,即A=时,2sin()取最大值2.故选A.14.(2019全国Ⅱ,理15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为.答案:6√解析:∵b2=a2+c2-2accosB,∴(2c)2+c2-2×2c×c=62,即3c2=36,解得c=2√或c=-2√(舍去).∴a=2c=4√∴S△ABC=acsinB=4√2√√=6√15.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.已知cos2A-cos2B+sin2C=sinBsinC=,且△ABC的面积为√,则a的值为.答案:2√解析:在△ABC中,由cos2A-cos2B+sin2C=sinBsinC=,得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,7即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cosA=-∵A∈(0,π),∴A=由正弦定理,得,即,化简得a2=3bc.∵△ABC的面积S△ABC=bcsinA=√,∴bc=4,∴a2=12,解得a=2√16.在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是.答案:8解析:sinA=sin(B+C)=2sinBsinC⇒tanB+tanC=2tanBtanC,因为tanA=-tan(B+C)=--,所以tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC.因为△ABC为锐角三角形,所以tanA0,tanBtanC0,所以tanA+2tanBtanC≥2√,当且仅当tanA=2tanBtanC时,等号成立,即tanAtanBtanC≥2√,解得tanAtanBtanC≥8,即最小值为8.17.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C,且--(1)判断△ABC的形状;(2)若|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2,求⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围.解：(1)由--及正弦定理,得sinB=sin2C,∴B=2C或B+2C=π.若B=2C,C,Bπ,B+Cπ(舍去).若B+2C=π,又A+B+C=π,∴A=C,∴△ABC为等腰三角形.(2)∵|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2,∴a2+c2+2accosB=4.又由(1)知a=c,∴cosB=-而cosB=-cos2C,cosB1,∴1a28⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=accosB=a2cosB,且cosB=-,∴a2cosB=2-a2()⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗()