新三板策略报告介入医疗器械公司佰仁医疗发布第二轮回复哪些产品填补了国内空白20190609安信证券2

1专题能力训练5基本初等函数、函数的图象和性质专题能力训练第16页一、能力突破训练1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是()A.f(x)=-x|x|B.f(x)=xsinxC.f(x)=D.f(x)=答案:A解析:函数f(x)=-x|x|={-在其定义域上既是奇函数又是减函数,故选A.2.(2019全国Ⅰ,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca答案:B解析:因为a=log20.20,b=20.220=1,又0c=0.20.30.201,所以acb.故选B.3.(2019全国Ⅲ,理7)函数y=-在[-6,6]的图象大致为()答案:B解析:设y=f(x)=-,则f(-x)=--=--=-f(x),故f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除选项C.2f(4)=-0,排除选项D.f(6)=-7,排除选项A.故选B.4.若定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:①对于任意的x∈R,都有f(x+1)=f(x-1);②函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称;③对于任意的x1,x2∈[0,1],都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)0.则f(),f(2),f(3)从大到小的关系是()A.f()f(2)f(3)B.f(3)f(2)f()C.f()f(3)f(2)D.f(3)f()f(2)答案:D解析:①对于任意的x∈R,都有f(x+1)=f(x-1),所以函数f(x)的周期为T=2;②函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称;③对于任意的x1,x2∈[0,1],都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)0,所以函数f(x)在区间(0,1)内单调递增.因为f(3)=f(1),f()=f(),f(2)=f(0),10,所以f(3)f()f(2).5.已知偶函数y=f(x),当x∈(-1,0)时,f(x)=2-x.若α,β为锐角三角形的两个内角,则()A.f(sinα)f(sinβ)B.f(sinα)f(cosβ)C.f(cosα)f(cosβ)D.f(cosα)f(sinβ)答案:B解析:根据题意,得当x∈(-1,0)时,f(x)=2-x=(),则f(x)在区间(-1,0)内为减函数.又f(x)为偶函数,则f(x)在区间(0,1)内为增函数.若α,β为锐角三角形的两个内角,则α+β90°,即α90°-β,所以sinαsin(90°-β)=cosβ,所以f(sinα)f(cosβ).6.(2018全国Ⅱ,理11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)内的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50答案:C解析:∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.3∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0),∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.7.已知f(x)是R上的偶函数,f()=-f(x),当0≤x时,f(x)=sinx,则函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是()A.12B.10C.6D.5答案:B解析:由f()=-f(x),可得函数f(x)的周期为π,作出函数y=f(x)与y=lg|x|的图象,由图象可知,当x0时,两函数图象有5个交点.又函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数,所以函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10.8.若函数f(x)=xln(x+√)为偶函数,则a=.答案:1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+√)=ln√,f(1)=ln(1+√),因此ln(√+1)-lna=ln(√+1),于是lna=0,∴a=1.9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是.答案:[]解析:由题意知a0,又loa=log2a-1=-log2a.∵f(x)是R上的偶函数,∴f(log2a)=f(-log2a)=f(loa).∵f(log2a)+f(loa)≤2f(1),∴2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,∴a[]410.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且当x[]时,f(x)=-x2,则f(3)+f(-)的值等于.答案:-解析:根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f(-)=f()=-,所以f(3)+f(-)=0+(-)=-11.如图,边长为1的正方形ABCD,其中边DA在x轴上,点D与坐标原点重合.若正方形沿x轴正向滚动,先以A为中心顺时针旋转,当B落在x轴上时,再以B为中心顺时针旋转,如此继续,当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时,则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点C(x,y)滚动时形成的曲线为y=f(x),则f(2019)=.答案:0解析:由题意,得f(x)是周期为4的函数,所以f(2019)=f(4×504+3)=f(3).由题意,得当x=3时,点C恰好在x轴上,所以f(3)=0,故f(2019)=0.12.若不等式3x2-logax0在x()内恒成立,求实数a的取值范围.解:由题意知3x2logax在x()内恒成立.在同一平面直角坐标系内,分别作出函数y=3x2和y=logax的图象.观察两函数图象,当x()时,若a1,函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以不成立;当0a1时,由图可知,y=logax的图象必须过点()或在这个点的上方,5则loga,所以a,所以a1.综上,实数a的取值范围为a1.二、思维提升训练13.已知函数的图象如图所示,则该图象对应的函数解析式可能是()A.y=2x-x2-1B.y=2xsinxC.y=D.y=(x2-2x)ex答案:D解析:y=2xsinx为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B;函数y=的定义域为{x|0x1,或x1},故排除C;对于y=2x-x2-1,当x=-2时,y=2-2-(-2)2-10,故排除A.14.定义在R上的函数f(x)同时满足:①对任意的x∈R,都有f(x+1)=f(x);②当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.若函数g(x)=f(x)-logax(a0,且a≠1)恰有3个零点,则a的取值范围是()A[)B.(1,2]C.(2,3]D.(3,4]答案:C解析:由题意,得方程f(x)=logax(a0,且a≠1)有3个解,所以函数y=f(x)和y=logax的图象有3个交点.因为对任意的x∈R,都有f(x+1)=f(x),所以函数y=f(x)是周期为1的函数.又当x∈(1,2]时,f(x)=2-x,可画出函数y=f(x)的图象,如图所示.6若函数y=logax的图象与函数y=f(x)的图象有交点,则需满足a1.结合图象可得,要使两函数的图象有3个交点,则需{解得2a≤3.15.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=()A.0B.mC.2mD.4m答案:B解析:由f(-x)=2-f(x),得f(x)的图象关于点(0,1)对称.而y==1+的图象是由y=的图象向上平移一个单位长度得到的,故y=的图象关于点(0,1)对称.则函数y=与y=f(x)图象的交点也关于点(0,1)对称,且每一组对称点(xi,yi),(x'i,y'i)(i=1,2,…,m)满足xi+x'i=0,yi+y'i=2,所以(xi+yi)=xi+yi=0+2=m.16.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-√),则a的取值范围是.答案:()解析:由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)f(-√)可化为f(2|a-1|)f(√),则2|a-1|√,|a-1|,解得a17.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)={-其中a,b∈R.若f()=f(),则a+3b的值为.答案:-10解析:∵f()=f(),7∴f()=f(-),=-a+1,易求得3a+2b=-2.又f(1)=f(-1),∴-a+1=,即2a+b=0,∴a=2,b=-4,∴a+3b=-10.18.对于函数y=f(x),y=g(x),若存在x0,使f(x0)=g(-x0),则称M(x0,f(x0)),N(-x0,g(-x0))是函数f(x)与g(x)图象的一对“雷点”.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,恒有f(x+1)=f(x),且当0≤x1时,f(x)=x.若g(x)=(x+1)2-a(-2x0),函数f(x)与g(x)的图象恰好存在一对“雷点”,则实数a的取值范围为.答案:(--)(0,1)解析:函数f(x)与g(x)的图象恰好存在一对“雷点”,即函数y=f(x)的图象与函数y=h(x)=(x-1)2-a在区间(0,2)内恰有一个交点,函数y=h(x)=(x-1)2-a的图象是将函数y=(x-1)2的图象向上或向下平移|-a|个单位长度.当曲线y=h(x)=(x-1)2-a的图象与直线y=x-1相切时,(x-1)2-a=x-1,即x2-3x+2-a=0,则Δ=9-4(2-a)=0,解得a=-由图可知-1-a0或-a1,即实数a的取值范围为-1a-或0a1.19.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.解:(1)∵f(x)=ex-(),且y=ex是增函数,y=-()是增函数,∴f(x)是增函数.8∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数.∵f(x-t)+f(x2-t2)≥0对x∈R恒成立,∴f(x-t)≥f(t2-x2),∴t2-x2≤x-t,∴x2+x≥t2+t对x∈R恒成立.又()()对一切x∈R恒成立,()0,∴t=-即存在实数t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.