专题能力训练5高中数学基本初等函数函数的图象和性质

1专题能力训练5基本初等函数、函数的图象和性质专题能力训练第16页一、能力突破训练1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是()A.f(x)=-x|x|B.f(x)=xsinxC.f(x)=D.f(x)=答案:A解析:函数f(x)=-x|x|={-在其定义域上既是奇函数又是减函数,故选A.2.(2019全国Ⅰ,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca答案:B解析:因为a=log20.20,b=20.220=1,又0c=0.20.30.201,所以acb.故选B.3.(2019全国Ⅲ,理7)函数y=-在[-6,6]的图象大致为()答案:B解析:设y=f(x)=-,则f(-x)=--=--=-f(x),故f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除选项C.2f(4)=-0,排除选项D.f(6)=-7,排除选项A.故选B.4.若定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:①对于任意的x∈R,都有f(x+1)=f(x-1);②函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称;③对于任意的x1,x2∈[0,1],都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)0.则f(),f(2),f(3)从大到小的关系是()A.f()f(2)f(3)B.f(3)f(2)f()C.f()f(3)f(2)D.f(3)f()f(2)答案:D解析:①对于任意的x∈R,都有f(x+1)=f(x-1),所以函数f(x)的周期为T=2;②函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称;③对于任意的x1,x2∈[0,1],都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)0,所以函数f(x)在区间(0,1)内单调递增.因为f(3)=f(1),f()=f(),f(2)=f(0),10,所以f(3)f()f(2).5.已知偶函数y=f(x),当x∈(-1,0)时,f(x)=2-x.若α,β为锐角三角形的两个内角,则()A.f(sinα)f(sinβ)B.f(sinα)f(cosβ)C.f(cosα)f(cosβ)D.f(cosα)f(sinβ)答案:B解析:根据题意,得当x∈(-1,0)时,f(x)=2-x=(),则f(x)在区间(-1,0)内为减函数.又f(x)为偶函数,则f(x)在区间(0,1)内为增函数.若α,β为锐角三角形的两个内角,则α+β90°,即α90°-β,所以sinαsin(90°-β)=cosβ,所以f(sinα)f(cosβ).6.(2018全国Ⅱ,理11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)内的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50答案:C解析:∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.3∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0),∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.7.已知f(x)是R上的偶函数,f()=-f(x),当0≤x时,f(x)=sinx,则函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是()A.12B.10C.6D.5答案:B解析:由f()=-f(x),可得函数f(x)的周期为π,作出函数y=f(x)与y=lg|x|的图象,由图象可知,当x0时,两函数图象有5个交点.又函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数,所以函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10.8.若函数f(x)=xln(x+√)为偶函数,则a=.答案:1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+√)=ln√,f(1)=ln(1+√),因此ln(√+1)-lna=ln(√+1),于是lna=0,∴a=1.9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是.答案:[]解析:由题意知a0,又loa=log2a-1=-log2a.∵f(x)是R上的偶函数,∴f(log2a)=f(-log2a)=f(loa).∵f(log2a)+f(loa)≤2f(1),∴2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,∴a[]410.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且当x[]时,f(x)=-x2,则f(3)+f(-)的值等于.答案:-解析:根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f(-)=f()=-,所以f(3)+f(-)=0+(-)=-11.如图,边长为1的正方形ABCD,其中边DA在x轴上,点D与坐标原点重合.若正方形沿x轴正向滚动,先以A为中心顺时针旋转,当B落在x轴上时,再以B为中心顺时针旋转,如此继续,当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时,则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点C(x,y)滚动时形成的曲线为y=f(x),则f(2019)=.答案:0解析:由题意,得f(x)是周期为4的函数,所以f(2019)=f(4×504+3)=f(3).由题意,得当x=3时,点C恰好在x轴上,所以f(3)=0,故f(2019)=0.12.若不等式3x2-logax0在x()内恒成立,求实数a的取值范围.解:由题意知3x2logax在x()内恒成立.在同一平面直角坐标系内,分别作出函数y=3x2和y=logax的图象.观察两函数图象,当x()时,若a1,函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以不成立;当0a1时,由图可知,y=logax的图象必须过点()或在这个点的上方,5则loga,所以a,所以a1.综上,实数a的取值范围为a1.二、思维提升训练13.已知函数的图象如图所示,则该图象对应的函数解析式可能是()A.y=2x-x2-1B.y=2xsinxC.y=D.y=(x2-2x)ex答案:D解析:y=2xsinx为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B;函数y=的定义域为{x|0x1,或x1},故排除C;对于y=2x-x2-1,当x=-2时,y=2-2-(-2)2-10,故排除A.14.定义在R上的函数f(x)同时满足:①对任意的x∈R,都有f(x+1)=f(x);②当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.若函数g(x)=f(x)-logax(a0,且a≠1)恰有3个零点,则a的取值范围是()A[)B.(1,2]C.(2,3]D.(3,4]答案:C解析:由题意,得方程f(x)=logax(a0,且a≠1)有3个解,所以函数y=f(x)和y=logax的图象有3个交点.因为对任意的x∈R,都有f(x+1)=f(x),所以函数y=f(x)是周期为1的函数.又当x∈(1,2]时,f(x)=2-x,可画出函数y=f(x)的图象,如图所示.6若函数y=logax的图象与函数y=f(x)的图象有交点,则需满足a1.结合图象可得,要使两函数的图象有3个交点,则需{解得2a≤3.15.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=()A.0B.mC.2mD.4m答案:B解析:由f(-x)=2-f(x),得f(x)的图象关于点(0,1)对称.而y==1+的图象是由y=的图象向上平移一个单位长度得到的,故y=的图象关于点(0,1)对称.则函数y=与y=f(x)图象的交点也关于点(0,1)对称,且每一组对称点(xi,yi),(x'i,y'i)(i=1,2,…,m)满足xi+x'i=0,yi+y'i=2,所以(xi+yi)=xi+yi=0+2=m.16.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-√),则a的取值范围是.答案:()解析:由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)f(-√)可化为f(2|a-1|)f(√),则2|a-1|√,|a-1|,解得a17.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)={-其中a,b∈R.若f()=f(),则a+3b的值为.答案:-10解析:∵f()=f(),7∴f()=f(-),=-a+1,易求得3a+2b=-2.又f(1)=f(-1),∴-a+1=,即2a+b=0,∴a=2,b=-4,∴a+3b=-10.18.对于函数y=f(x),y=g(x),若存在x0,使f(x0)=g(-x0),则称M(x0,f(x0)),N(-x0,g(-x0))是函数f(x)与g(x)图象的一对“雷点”.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,恒有f(x+1)=f(x),且当0≤x1时,f(x)=x.若g(x)=(x+1)2-a(-2x0),函数f(x)与g(x)的图象恰好存在一对“雷点”,则实数a的取值范围为.答案:(--)(0,1)解析:函数f(x)与g(x)的图象恰好存在一对“雷点”,即函数y=f(x)的图象与函数y=h(x)=(x-1)2-a在区间(0,2)内恰有一个交点,函数y=h(x)=(x-1)2-a的图象是将函数y=(x-1)2的图象向上或向下平移|-a|个单位长度.当曲线y=h(x)=(x-1)2-a的图象与直线y=x-1相切时,(x-1)2-a=x-1,即x2-3x+2-a=0,则Δ=9-4(2-a)=0,解得a=-由图可知-1-a0或-a1,即实数a的取值范围为-1a-或0a1.19.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.解:(1)∵f(x)=ex-(),且y=ex是增函数,y=-()是增函数,∴f(x)是增函数.8∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数.∵f(x-t)+f(x2-t2)≥0对x∈R恒成立,∴f(x-t)≥f(t2-x2),∴t2-x2≤x-t,∴x2+x≥t2+t对x∈R恒成立.又()()对一切x∈R恒成立,()0,∴t=-即存在实数t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.