数列求和的常用方法

小明文库:数列求和的常用方法一、公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求和。例1、已知数列na中2,841aa,且满足122nnnaaa（1）求数列na的通项公式；（2）设nS是数列na的前n项和，求nS。解：（1）∵122nnnaaa∴数列na是等差数列∴41241aad∴210nan（2）令0na，得5n，即当5n时，0na；当6n时，0na∴当5n时，1212nnnSaaaaaa2(1)8(2)92nnnnn当6n时，1212567()nnnSaaaaaaaaa12125()2()naaaaaa22(9)2(595)nn2940nn∴229(5)940(5)nnnnSnnn练习1、求和：21nnSaaa答案：11(1)1(1)1nnnaSaaa二、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的。小明文库:、已知函数.211223xxxxF求122012201320132013FFF分析：由所求的和式的特点，易想到探究：和为1的两个自变量函数值的和是否为常数.从而确定可否用倒序相加法求和.解：因为.311221312231xxxxxFxF所以设12201120122013201320132013SFFFF,①20122011212013201320132013SFFFF②①+②得：1201222011201212201320132013201320132013SFFFFFF320126036,所以3018.S，即122012201320132013FFF3018【能力提升】倒序相加法来源于课本，是等差数列前项和公式推导时所运用的方法，它是一种重要的求和方法。当求一个数列的有限项和时，若是“与首末两端等距离”的两项和都相等，即可用此法.三、错位相减法：此方法应用于等比数列与等差数列相乘的形式，即若在数列nnab中，na成等差数列，nb成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。如等比数列的前n项和就是用此法推导的。例3．已知na是公差为2首项是1的等差数列，nb是公比为q首项为1的等比数列，nnnCab，求nC的前n项和nS。解：∵na是公差为2首项是1的等差数列∴21nan∵nb是公比为q首项为1的等比数列∴1nnbq∴nnnCab1(21)nnq∴221135(23)(21)nnnSqqnqnq①①×q有23135(23)(21)nnnqSqqqnqnq②小明文库:①－②有21(1)1222(21)nnnqSqqqnq当1q时，21(1)2(1)(21)1nnnqSqqqnq12(21)11nnqnqq22(1)(21)1(1)1nnnqnqSqq当1q时，2(121)135(21)2nnnSnn∴222(1)(21)1(1)(1)1(1)nnnqnqqSqqnq【能力提升】：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.练习2、求数列23,2,3,,naaana的前n项和nS。答案：12(1)(1)2(1)(1)(1)1nnnnnaSaanaaaa练习3、设数列{}na的前项n和为nS，点,()nSnnNn均在函数21yx的图像上。（1）求数列{}na的通项公式；（2）设12,nnnnbaT是数列{}nb的前n项和，求.nT答案：（1）43nan（2）4727nnTn练习4、设数列}{na的前n项的和为nS,满足13422,1,2,3,nnnSan（Ⅰ）求首项1a（Ⅱ）令2nnnba,求证{}nb是等比数列；（Ⅲ）设12,1,2,3,,3nnncnS数列nc的前n项的和为nT,证明：1nT.答案：（Ⅰ）12a（Ⅱ）{}nb是公比为4的等比数列（Ⅲ）111121nnT小明文库:、求和：21234248162nnS.答案：11222nnnnS练习6、已知数列{}na的前n项和nS和通项na满足*2121NnaSnn.(1)求数列{}na的通项公式；(2)设nnanc,求数列nc的前n项和nT,并证明43nT.答案：（1）13nna．（2）43343243nnnT练习7、（广东2014届十校联考理）设nS为数列na的前n项和，对任意的nN，都有(1)nnSmma(m为正常数)．（1）求证：数列na是等比数列；（2）数列nb满足11112,,(2,)1nnnbbabnnNb，求数列nb的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列})1cos(2{1nbnn的前n项和nT．答案：（1）数列{}na是首项为1，公比为1mm的等比数列．（2）2()21nbnNn（3）11(1)(61)229nnnnT练习8、（2013山东文）设等差数列na的前n项和为nS,且244SS,122nnaa(Ⅰ)求数列na的通项公式(Ⅱ)设数列nb满足*121211,2nnnbbbnNaaa,求nb的前n项和nT答案：(Ⅰ)21nan(Ⅱ)2332nnnT小明文库:四、裂项相消法：将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。例4、等差数列{}na中，13a，前n项和为nS，等比数列{}nb各项均为正数，11b，且2212bS，{}nb的公比22Sqb，12111nnTSSS。（1）求na与nb；（2）证明：1233nT解：（I）由已知可得223123qaaqq解得，3q或4q（舍去），26a3(1)33nann13nnb（2）证明：(33)12211()2(33)31nnnnSSnnnn121112111111121(1)(1)322334131nSSSnnn……易知，12111nnTSSS在nN时，单调递增，∴1211(1)3113nTT∴1212(1)3313n故1233nT练习9、求和：1111()1212312nSnNn答案：122(1)11nnSnn练习10、求数列11111,2,3,,()2482nn的前n项和nS。答案：(1)1122nnnnS小明文库:、求数列11nn的前n项和答案：11nSn练习12、已知数列na中，111,21nnnaaaa)nN（．（1）求证：数列}1{na为等差数列；（2）设211nnba，数列}{2nnbb的前n项和nT，求证：43nT．答案：（1）1na是以2为公差的等差数列，（2）nT)2111(2143nn43练习13、若正数项数列na的前n项和为nS，首项11a，点1,nnPSS在曲线2(1)yx上.（1）求23,aa；（2）求数列na的通项公式na；（3）设11nnnbaa,nT表示数列nb的前项和,若nTa恒成立，求nT及实数a的取值范围.答案：（1）23a，35a（2）21nan（3）nT11212nnn是关于n的增函数11,3nTT13a练习14、（本小题满分12分）已知数列}2{1nna的前n项和96nSn．（Ⅰ）求数列｛na｝的通项公式；（Ⅱ）设2(3log)3nnabn，求数列｛1nb｝的前n项和nT．答案：（Ⅰ）23(1)3(2)2nnnan通项公式（Ⅱ）nT5161n练习15、（2013广东文）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS,满足21441,,nnSannN且2514,,aaa构成等比数列.(1)证明:2145aa;(2)求数列na的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1223111112nnaaaaaa.小明文库:答案：(2)数列na的通项公式为21nan.(3)12231111111(1)2212nnaaaaaan练习16、（2013江西理）正项数列{an}的前项和{an}满足:222(1)()0nnsnnsnn(1)求数列{an}的通项公式na(2)令221(2)nnbna,数列{bn}的前n项和为nT.证明:对于任意的*nN,都有564nT答案：(1)数列na的通项2nan.(2)222211114(2)16(2)nnbnnnn.nT222211111151(1)162(1)(2)16264nn.五、分组转化法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。形如：nnba,其中na是等差数列，nb是等比数列例5、求数列111112,2,3,4,,,2482nn的前n项和。分析：该数列的通项是由一个等差数列n与一个等比数列112n组成的，所以可将其转化为一个等比数列与一个等差数列进行分组求和。解：12nnSaaa11111112(3)(4)2482nn11111(1234)(1)2482nn0123111111(1234)()()()()()22222nn11()(1)21212nnn2112222nnn小明文库:【能力提升】：分组求和法的实质是将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和。练习17、已知数列na的通项公式为,132nann求数列na的前n项和.答案：nS=.22123221nnn六、并项求和法：一个数列的前n项和中，可以两两结合求和称之为并项法。例6：求2222121234(1)nnSn解：①当n是偶数时：222222(12)(34)[(1)]nSnn(12)(12(34)(34[(1)][(1]nnnn））+）(1)1234n2nn（）=-②当n是奇数时：222222