2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点练习选修考点过关检测三十九解析

考点过关检测（三十九）1．(2019·三湘名校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2＋y24＝1，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心极坐标为(3，π),半径为1的圆．(1)求曲线C1的参数方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)设M，N分别为曲线C1，C2上的动点，求|MN|的取值范围．解：(1)曲线C1的参数方程为x＝cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)，曲线C2的直角坐标方程为(x＋3)2＋y2＝1.(2)设M(cosφ，2sinφ)，C2(－3,0)，则|MC2|2＝(cosφ＋3)2＋4sin2φ＝－3cos2φ＋6cosφ＋13＝－3(cosφ－1)2＋16，∵－1≤cosφ≤1，∴4≤|MC2|2≤16，即2≤|MC2|≤4，∴1≤|MN|≤5.2．(2020届高三·福建五校联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝1－3t，y＝1＋t(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，求∠POQ.解：(1)由x＝1－3t，y＝1＋t得直线l的普通方程为x＋3y＝1＋3，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以直线l的极坐标方程为ρ(cosθ＋3sinθ)＝1＋3或2ρsinθ＋π6＝1＋3.由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.(2)曲线C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，表示圆心为(1,0)且半径为1的圆．由(1)得直线l的普通方程为x＋3y－(1＋3)＝0，则圆心到直线l的距离d＝32，所以|PQ|＝21－d2＝1，所以△PCQ是等边三角形，所以∠PCQ＝π3，又O是圆C上的点，所以∠POQ＝∠PCQ2＝π6.3．(2019·昆明模拟)已知曲线C1的参数方程为x＝－t，y＝3t(t为参数)，A为当t＝1时曲线C1上的点；B为当t＝－1时曲线C1上的点．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝64＋5sin2θ.(1)求A，B的极坐标；(2)设M是曲线C2上的动点，求|MA|2＋|MB|2的最大值．解：(1)当t＝1时x＝－1，y＝3，即点A的直角坐标为(－1，3)．当t＝－1时x＝1，y＝－3，即点B的直角坐标为(1，－3)．∴点A的极坐标为2，2π3，点B的极坐标为2，5π3.(2)由ρ＝64＋5sin2θ，得ρ2(4＋5sin2θ)＝36，∴曲线C2的直角坐标方程为x29＋y24＝1.设曲线C2上的动点M的坐标为(3cosα，2sinα)，则|MA|2＋|MB|2＝10cos2α＋16≤26，当且仅当cosα＝±1时等号成立，∴|MA|2＋|MB|2的最大值为26.4．(2019·河北六校联考)在直角坐标系xOy中，点P(0，－1)，曲线C1：x＝tcosαy＝－1＋tsinα(t为参数)，其中0≤απ，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＋ρcos2θ＝8sinθ.(1)若α＝π4，求C1与C2公共点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|＝409时，求sinα的值．解：(1)若α＝π4，则曲线C1的普通方程为y＝x－1，曲线C2的直角坐标方程为x2＝4y，由y＝x－1，x2＝4y，解得x＝2，y＝1.所以C1与C2公共点的直角坐标为(2,1)．(2)将C1：x＝tcosα，y＝－1＋tsinα代入x2＝4y得，(cos2α)t2－4tsinα＋4＝0，由Δ＝16sin2α－16cos2α0，得sinα22.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝4sinαcos2α.由|PM|＝t1＋t22＝2sinαcos2α＝409，得20sin2α＋9sinα－20＝0，解得sinα＝45.5．(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为x＝cost，y＝1＋sint(t为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)设A，B分别为射线l与曲线C1，C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值．解：(1)由曲线C1的参数方程x＝cost，y＝1＋sint(t为参数)，消去参数t得，x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ.由曲线C2的直角坐标方程x2＋(y－2)2＝4，得x2＋y2－4y＝0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(2)联立θ＝α，ρ＝2sinθ，得A(2sinα，α)，∴|OA|＝2sinα，联立θ＝α，ρ＝4sinθ，得B(4sinα，α)，∴|OB|＝4sinα，∴|AB|＝|OB|－|OA|＝2sinα，∵0＜α＜π，∴当α＝π2时，|AB|有最大值，最大值为2.6．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.解：(1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425.从而C与l的交点坐标为(3,0)，－2125，2425.(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋917.由题设得a＋917＝17，解得a＝8；当a＜－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，解得a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.