2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点练习选修考点过关检测四十解析

考点过关检测（四十）1．(2019·岳阳高三二检)已知f(x)＝|2x－3|＋ax－6(a是常数)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)如果函数y＝f(x)恰有两个不同的零点，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－3|＋x－6＝3x－9，x≥32，－3－x，x＜32，则原不等式等价于x≥32，3x－9≥0或x＜32，－3－x≥0，解得x≥3或x≤－3，故原不等式的解集为{x|x≥3或x≤－3}．(2)由f(x)＝0，得|2x－3|＝－ax＋6.令y＝|2x－3|，y＝－ax＋6，作出它们的图象，如图．显然，当－2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以函数y＝f(x)恰有两个不同的零点时，a的取值范围是(－2,2)．2．已知函数f(x)＝|x－a|－2.(1)若a＝1，求不等式f(x)＋|2x－3|＞0的解集；(2)关于x的不等式f(x)＞|x－3|有解，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，原不等式等价于|x－1|＋|2x－3|＞2.当x≥32时，3x－4＞2，解得x＞2；当1＜x＜32时，2－x＞2，无解；当x≤1时，4－3x＞2，解得x＜23.∴原不等式的解集为xx＞2或x＜23.(2)f(x)＞|x－3|⇔|x－a|－|x－3|＞2.令g(x)＝|x－a|－|x－3|，依题意知，g(x)max＞2.∵g(x)＝|x－a|－|x－3|≤|(x－a)－(x－3)|＝|a－3|，∴g(x)max＝|a－3|，∴|a－3|＞2，解得a＞5或a＜1，∴实数a的取值范围是(－∞，1)∪(5，＋∞)．3．已知f(x)＝|2x－1|－|x＋2|，g(x)＝|x－a|－|x＋a＋1|.(1)解不等式f(x)＞4；(2)若∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x2)＝g(x1)，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)＝|2x－1|－|x＋2|＝－x＋3，x－2，－3x－1，－2≤x≤12，x－3，x12.若f(x)4，则当x－2时，由－x＋34，解得x－2；当－2≤x≤12时，由－3x－14，解得－2≤x－53；当x12时，由x－34，解得x7.综上，不等式f(x)4的解集为xx－53或x7.(2)因为∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x2)＝g(x1)，所以g(x)的值域是f(x)值域的子集．由(1)易知f(x)的值域为－52，＋∞.因为g(x)＝|x－a|－|x＋a＋1|的值域为[－|2a＋1|，|2a＋1|]，所以－|2a＋1|≥－52，即|2a＋1|≤52，则－52≤2a＋1≤52，－74≤a≤34，即实数a的取值范围为－74，34.4．已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)2成立．(1)求实数m的值；(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)＝4，求证：4α＋1β≥3.解：(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|.所以要使不等式|x－m|＋|x|2有解，则|m|2，解得－2m2.因为m∈N*，所以m＝1.(2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4，即α＋β＝3，所以4α＋1β＝134α＋1β(α＋β)＝135＋4βα＋αβ≥135＋24βα·αβ＝3.当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时等号成立，故4α＋1β≥3.5．(2019·广东六校第一次联考)已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋2|.(1)若不等式f(x)≤|a＋1|恒成立，求a的取值范围；(2)求不等式|f(x)－|x＋2||＞3的解集．解：(1)f(x)＝|x－1|－|x＋2|≤|(x－1)－(x＋2)|＝3，由f(x)≤|a＋1|恒成立得|a＋1|≥3，即a＋1≥3或a＋1≤－3，得a≥2或a≤－4.∴a的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞)．(2)不等式|f(x)－|x＋2||＝||x－1|－2|x＋2||＞3等价于|x－1|－2|x＋2|＞3或|x－1|－2|x＋2|＜－3，令g(x)＝|x－1|－2|x＋2|＝－x－5，x≥1，－3x－3，－2≤x＜1，x＋5，x＜－2.由x＋5＝－3得x＝－8，由－3x－3＝－3得x＝0，作出g(x)的图象如图所示，由图可得原不等式的解集为{x|x＜－8或x＞0}．6．(2019·陕西模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.(1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥3t＋3t.解：(1)依题意，得f(x)＝－3x，x≤－1，2－x，－1x12，3x，x≥12，于是f(x)≤3⇔x≤－1，－3x≤3或－1x12，2－x≤3或x≥12，3x≤3，解得－1≤x≤1.故不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}．(2)证明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3，当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时取等号，∴M＝[3，＋∞)．t2＋1≥3t＋3t等价于t2－3t＋1－3t≥0，t2－3t＋1－3t＝t3－3t2＋t－3t＝t－3t2＋1t.∵t∈M，∴t－3≥0，t2＋10，∴t－3t2＋1t≥0，∴t2＋1≥3t＋3t.