2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点课件数列八

主攻40个必考点(八)数列的通项及递推公式1．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是()A．440B．330C．220D．110解析：选A设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为nn＋12.由题意可知，N100，令nn＋12100，得n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．易得第n组的所有项的和为1－2n1－2＝2n－1，前n组的所有项的和为21－2n1－2－n＝2n＋1－n－2.设满足条件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N*)个数，若要使前N项和为2的整数幂，则第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，即2t－1＝k＋2，∴2t＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)，∴当t＝4，k＝13时，N＝13×13＋12＋4＝95100，不满足题意；当t＝5，k＝29时，N＝29×29＋12＋5＝440；当t5时，N440，故选A.2．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．解析：设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝12.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.故a1a2…an＝an1q1＋2＋…＋(n－1)＝23n·12n－1n2＝23n－n22＋n2＝2－n22＋72n.答案：64记t＝－n22＋7n2＝－12(n2－7n)＝－12n－722＋498，结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6.又y＝2t为增函数，从而a1a2…an的最大值为26＝64.3．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．解：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.又a1＝－7，所以d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.(2)由(1)得Sn＝na1＋an2＝n2－8n＝(n－4)2－16，所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.4．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．解：(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，an＋bn＝12n－1，an－bn＝2n－1，所以an＝12[(an＋bn)＋(an－bn)]＝12n＋n－12，bn＝12[(an＋bn)－(an－bn)]＝12n－n＋12.[把脉考情]考什么1.an与Sn的关系2.由递推公式求通项公式考多深命题以中等难度为主，各种题型都有也有压轴小题，压轴题多分布在选择题第12题及填空题第16题位置，分值5分或10分考多宽常与函数、不等式交汇考查，考查逻辑推理、数学运算的核心素养利用an与Sn的关系求通项[典例1](2019·陆川月考)设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，且Sn＝12an＋1＋1，则{an}的通项公式an＝________.[解析]由题意得Sn＝12an＋1＋1.①当n≥2时，Sn－1＝12an＋1.②①－②得an＝12an＋1－12an，整理得an＋1＝3an，n≥2.当n＝1时，S1＝a1＝12a2＋1，又a1＝3，得a2＝4≠3a1.所以数列{an}从第二项起为等比数列，n≥2时，an＝4·3n－2.综上，an＝3，n＝1，4·3n－2，n≥2.[答案]3，n＝1，4·3n－2，n≥2增分方略破解知Sn求an题的关键是过好“关系关”，即利用Sn与an的关系式：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，即可求出数列{an}的通项公式．累加法或累乘法求数列的通项公式[典例2](1)已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.(2)定义数列{an}如下：a0＝1，a1＝1，当n≥2时，有an＝an－1＋a2n－1an－2，则数列{an}的通项公式an＝______.[解析](1)由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)以上式子累加得，an－a1＝2＋3＋…＋n.因为a1＝2，所以an＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋n－12＋n2＝n2＋n＋22(n≥2)．因为a1＝2满足上式，所以an＝n2＋n＋22(n∈N*)．(2)因为an＝an－1＋a2n－1an－2(n≥2，n∈N*)，所以anan－1＝1＋an－1an－2，即anan－1－an－1an－2＝1，因为a0＝1，a1＝1，所以a1a0＝1.所以数列anan－1构成首项为1，公差为1的等差数列，所以anan－1＝n，所以a1a0＝1，a2a1＝2，…，anan－1＝n(n≥1)，将以上n个式子累乘得ana0＝1×2×…×n＝n！，所以an＝n！(n≥1)，又a0＝1满足上式，所以数列{an}的通项公式an＝n！.[答案](1)n2＋n＋22(2)n!增分方略(1)对于递推公式形如an＋1＝an＋f(n)的数列{an}，常令n分别为1,2,3，…，(n－1)，代入an＋1＝an＋f(n)，再把所得的(n－1)个等式相加，即可求得数列{an}的通项公式．(2)对于递推公式形如an＋1an＝f(n)的数列{an}，常令n分别为1,2,3，…，(n－1)，代入an＋1an＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，即可求得数列{an}的通项公式．常见递推公式求通项公式题点1：形如an＋1＝qan＋p(p，q≠0且q≠1)，求an[典例3](2019·柳州第二次联考)设a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2且an＋1－an＝bn.(1)求证：数列{bn＋2}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：因为bn＋1＝2bn＋2，所以bn＋1＋2＝2(bn＋2)，因为a1＝2，a2＝4，an＋1－an＝bn，所以b1＝a2－a1＝2，所以bn＋2≠0，bn＋1＋2bn＋2＝2，所以数列{bn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)可得bn＋2＝4×2n－1＝2n＋1，故bn＝2n＋1－2.因为an＋1－an＝bn，所以a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，a4－a3＝b3，…，an－an－1＝bn－1(n≥2)，累加得an－a1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1(n≥2)，所以当n≥2时，an＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n－2)＝2＋221－2n－11－2－2(n－1)＝2n＋1－2n，又a1＝2＝21＋1－2×1，满足上式，所以an＝2n＋1－2n(n∈N*)．增分方略破解递推公式为an＋1＝qan＋p(p≠0，q≠0且q≠1)型的数列{an}的通项公式题的关键：一是利用待定系数法构造an＋1＋pq－1＝qan＋pq－1；二是活用定义，即活用等比数列的定义，判断数列an＋pq－1为等比数列；三是利用等比数列的通项公式，求出数列an＋pq－1的通项公式，从而求得数列{an}的通项公式．题点2：形如an＋1＝qan＋f(n)(q≠0)，求an[典例4]已知数列{an}满足：an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋1－ananan＋1，数列{cn}的前n项和为Sn，求证：Sn1.[解](1)因为an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，所以an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，因为a1＝3，所以a1－1＝2≠0，所以数列{an－n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an－n＝2×2n－1＝2n，即an＝2n＋n.(2)证明：由(1)知，an＝2n＋n，所以an0.因为cn＝an＋1－ananan＋1＝1an－1an＋1，所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1＝1a1－1an＋1＝13－1an＋11－1an＋11.增分方略破解递推公式为an＋1＝qan＋f(n)(q≠0)型的数列{an}的通项公式题的关键：一是构造，如本例，构造an＋1－(n＋1)＝2(an－n)；二是活用定义，即活用等比数列或等差数列的定义，如本例，利用等比数列的定义，判断数列{an－n}为等比数列；三是利用等比数列或等差数列的通项公式，如本例，求出数列{an－n}的通项公式，从而可得数列{an}的通项公式．[提醒]由an＋1＝qan＋f(n)(q≠0)易误构造an＋1＋g(n)＝q(an＋g(n))，从而导致所求的通项公式出错，应构造an＋1＋g(n＋1)＝q(an＋g(n))．课下请完成“考点过关检测（八）”(单击进入电子文档)