2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点课件立体几何十二

主攻40个必考点(十二)空间位置关系1．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线解析：选B如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB.∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，EF⊂平面ECD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝3，∴EN＝FN2＋EF2＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF且MG＝12EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝12EF＝32，BG＝CG2＋BC2＝322＋22＝52，∴BM＝MG2＋BG2＝7，∴BM≠EN.连接BD，BE，∵点N是正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且BN＝DN，∴BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：选A法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MNQ.故选A.法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB.因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，选项B、C、D中AB∥平面MNQ.故选A.3．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22B.32C.52D.72解析：选C如图，连接BE，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝5，则tan∠EAB＝BEAB＝52，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为52.4．(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．解：(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.5．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥Q­ABP的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又因为BA⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.因为AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝32.又BP＝DQ＝23DA，所以BP＝22.如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，则QE綊13DC.由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱锥Q­ABP的体积为VQ­ABP＝13×S△ABP×QE＝13×12×3×22sin45°×1＝1.[把脉考情]考什么1.空间线、面位置关系的判断2.空间线、面平行关系的判断与证明3.空间线、面垂直关系的判断与证明4.平面图形的翻折与探索性问题考多深选择、填空、解答题均有涉及，难度中等，分值5～10分考多宽多与线线角，线面角结合，也常作为解答题的第(1)问出现，主要考查直观想象、逻辑推理的核心素养、注意转化与化归思想的应用空间线、面位置关系的判断[典例1](2019·潍坊三模)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，现有以下命题：①m⊂α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β；②m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α⇒α∥β；③m⊥β，n⊥α，m⊥n⇒α⊥β；④m⊂α，m∥n⇒n∥α.其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：分析法对于①，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则两平面可能平行，所以①为假命题；对于②，若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，只有当m与n相交时，才能推出α∥β，所以②为假命题；对于③，因为m⊥β，m⊥n，所以n⊂β或n∥β，又n⊥α，所以α⊥β，所以③为真命题；对于④，若n⊄α，则结论正确，若n⊂α，则结论不正确，所以④为假命题．综上可知，真命题的个数只有一个，故选B.法二：反例法如图，几何体ABCD­A1B1C1D1为长方体．对于①，A1B1⊥BC，且A1B1⊂平面A1B1C1D1，BC⊂平面ABCD，而平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以①为假命题；对于②，A1B1∥平面ABCD，分别取棱AA1，BB1的中点E，F，连接EF，显然EF∥平面ABCD，A1B1⊂平面ABB1A1，EF⊂平面ABB1A1，而平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，故②为假命题；对于④，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，所以④为假命题．对于③，因为m⊥β，m⊥n，所以n⊂β或n∥β，又n⊥α，所以α⊥β，所以③为真命题．综上可知，真命题的个数只有一个，故选B.[答案]B增分方略真有证据假有反例关于空间线、面位置关系命题的真、假判断的依据是空间线、面位置关系及空间平行与垂直的判定与性质定理．需要注意两个方面：一是在判断直线和平面是否平行时，不要忽略直线在平面内的情况，否则容易出现误判；二是不能直接把平面内的相关定理放在空间中使用，有些定理在空间中不成立，如在空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行等．判断命题为假时，可以利用长方体找出反例．空间平行、垂直关系的证明[典例2](2019·无锡模拟)如图，四棱锥P­ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.[证明](1)法一：如图，取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝12AB.又AB∥CD，CD＝12AB，所以EH∥CD，EH＝CD，所以四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD.法二：如图，连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝12AB.因为CD＝12AB所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．所以CF∥AD.因为CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD.所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.因为EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，所以平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，所以AB⊥平面EFG.因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.增分方略(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理．(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等．(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件，步骤书写要规范．平面图形的翻折与探索性问题[典例3](2019·广安月考)平面内两正方形ABCD与ABEF，点M，N分别在对角线AC，FB上，且AM∶MC＝FN∶NB，沿AB折起，使得∠DAF＝90°.(1)证明：折叠后MN∥平面CBE；(2)若AM∶MC＝2∶3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN∥平面CBE？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：如图，设直线AN与直线BE交于点H，连接CH，因为△ANF∽△HNB，所以FNNB＝ANNH.又AMMC＝FNNB，所以ANNH＝AMMC，所以MN∥CH.又MN⊄平面CBE，CH⊂平面CBE，所以MN∥平面CBE.(2)存在，过M作MG⊥AB，垂足为G，连接GN，则MG∥BC，又MG⊄平面CBE，BC⊂平面CBE，所以MG∥平面CBE.又MN∥平面CBE，MG∩MN＝M，所以平面MGN∥平面CBE.所以点G在线段AB上，且AG∶GB＝AM∶MC＝2∶3.增分方略(1)平面图形翻折问题是高考命题的重点，解决此类问题的关键就是根据折痕，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变关系”．①与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；②与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变．(2)平面图形中的垂直关系是图形翻折问题考查的重点．①等腰三角形底边的中线与底边垂直；②菱形的对角线相互垂直；③圆上任意一点对直径所张的角为直角．(3)解决立体几何中探索性问题的基本方法①通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立．②探索线段上是否存在满足题意的点时，注意三点共线条件的应用．课下请完成“考点过关检测（十二）”(单击进入电子文档)