2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点课件统计与概率十七

主攻40个必考点(十七)古典概型与几何概型1．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.516B.1132C.2132D.1116解析：选A在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C36C33＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝2064＝516.2．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118解析：选C不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为345＝115.故选C.3.(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3解析：选A不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－222－2＝2，区域Ⅲ的面积S3＝222－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝2π＋2，p3＝π－2π＋2，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.4．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34解析：选B如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝2040＝12.故选B.5．(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B.12C.23D.56解析：选C从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝46＝23，故选C.[把脉考情]考什么1.古典概型2.几何概型(长度、面积)考多深多以选择题形式考查，古典概型也会在解答题中涉及，试题难度中等偏下，分值5分或12分考多宽古典概型多以实际生活为背景，考查古典概型的概率公式，也常以数学文化为背景考查．几何概型常结合函数考查长度有关问题，结合平面图形考查与面积有关问题、高考中也常以数学文化为背景考查，考查数学运算、直观想象的核心素养求解古典概型的概率问题[典例1]从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.79[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：分类法9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，所以P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝59×48＝518，P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝49×58＝518.所以P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝518＋518＝59.法二：直接法依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝5×4C29＝59.故选C.[答案]C[典例2](2019·河北六校联考)某中学一教师统计甲、乙两位同学高三学年的数学成绩(满分150分)，现有甲、乙两位同学的20次成绩的茎叶图如图所示：(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将乙同学成绩的频率分布直方图(如图所示)补充完整；(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(3)现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．[解](1)甲同学成绩的中位数是119，乙同学成绩的中位数是128.乙同学成绩的频率分布直方图如图所示：(2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均值比甲同学成绩的平均值高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定．(3)甲同学不低于140分的成绩有2个，分别设为a，b，乙同学不低于140分的成绩有3个，分别设为c，d，e，现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个成绩的情况有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c),(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，其中2个成绩分别属于不同的同学的情况有(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，共6种，因此事件A发生的概率P(A)＝610＝35.增分方略1．古典概型的概率求解步骤(1)求出所有基本事件的个数n；(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m；(3)代入公式P(A)＝mn求解．2．基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型．(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法．(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．(4)运用排列组合知识计算．几何概型[典例3](1)(2019·吉林名校联考)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若x∈[－3,3]，则不等式f(x)≤f(1)成立的概率是()A.12B.13C.23D.34(2)(2019·合肥三模)如图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率π的值．随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N，落在正六边形内切圆内的豆子个数为M，则估计圆周率π的值为()A.23MNB.3MNC.3MND.23MN(3)(2019·咸阳二模)一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是________．[解析](1)由题意，定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(x)≤f(1)等价于|x|≤1，解得－1≤x≤1，所以当x∈[－3,3]时，不等式f(x)≤f(1)对应的概率P＝1－－13－－3＝13.故选B.(2)设正六边形的边长为1，则其内切圆的半径为32，依题意得π×3226×34×12＝MN，解得π＝23MN，故选D.(3)设正方体的棱长为2a，其体积V1＝(2a)3＝8a3，所以正方体内切球的直径为2a，该内切球的体积V2＝43πa3，利用几何概型的概率公式可得，这只蚊子安全飞行的概率P＝V2V1＝43πa38a3＝π6.[答案](1)B(2)D(3)π6增分方略几何概型的适用条件及应用关键(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．课下请完成“考点过关检测（十七）”(单击进入电子文档)