2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点课件解析几何二十二

主攻40个必考点(二十二)圆锥曲线的方程与几何性质1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8解析：选D抛物线y2＝2px(p0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23p＋y2p＝1的焦点坐标为(±2p，0)．由题意得p2＝2p，解得p＝0(舍去)或p＝8.2．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→·FN→＝()A．5B．6C．7D．8解析：选D由题意知直线MN的方程为y＝23(x＋2)，联立y＝23x＋2，y2＝4x，解得x＝1，y＝2或x＝4，y＝4.不妨设M(1,2)，N(4,4)．又∵抛物线焦点为F(1,0)，∴FM→＝(0,2)，FN→＝(3,4)．∴FM→·FN→＝0×3＋2×4＝8.3．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1解析：选B法一：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，－b)，由F2(1,0)，AF2→＝2F2B→，得B32，b2.由点B在椭圆上，得94a2＋b24b2＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.法二：由题意设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝1a.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝a23a2＝13，所以13＝1－21a2，解得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选B.4．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－32B．2－3C.3－12D.3－1解析：选D在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x2a2＋y2b2＝1中，2a＝1＋3，2c＝2，得a＝1＋32，c＝1，所以离心率e＝ca＝21＋3＝3－1.5．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x23－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A.32B．3C．23D．4解析：选B法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±13x.设两条渐近线的夹角为2α，则有tanα＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝3.在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝3·tan60°＝3.故选B.法二：因为双曲线x23－y2＝1的渐近线方程为y＝±33x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝33x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－3(x－2)，由y＝－3x－2，y＝33x，得x＝32，y＝32，所以M32，32，所以|OM|＝322＋322＝3，所以|MN|＝3|OM|＝3，故选B.6．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：x24－y22＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为()A.324B.322C．22D．32解析：选A法一：双曲线x24－y22＝1的右焦点F(6，0)，一条渐近线的方程为y＝22x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，得点P的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.法二：不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝6.又tan∠POF＝ba＝22，所以等腰三角形POF的高h＝62×22＝32，所以S△PFO＝12×6×32＝324.7．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14解析：选D如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝3，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝|PB||AB|＝3a＋2＝36，解得a＝4，所以e＝ca＝14.8．(2017·全国卷Ⅱ)若a＞1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(2，2)C．(1，2)D．(1,2)解析：选C由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1a.即e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e＜2.9．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆x236＋y220＝1上，所以联立方程可得x＋42＋y2＝64，x236＋y220＝1，解得x＝3，y＝±15.又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，15)．答案：(3，15)10．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A→＝AB→，F1B→·F2B→＝0，则C的离心率为________．解析：法一：由F1A→＝AB→，得A为F1B的中点．又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2.又F1B→·F2B→＝0，∴∠F1BF2＝90°.∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B.又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．如图所示，不妨设B为c2，－32c.∵点B在直线y＝－bax上，∴ba＝3，∴离心率e＝ca＝1＋b2a2＝2.法二：∵F1B→·F2B→＝0，∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c.如图，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得|BH||OH|＝ba，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c,0)．又∵F1A→＝AB→，∴A为F1B的中点．∴OA∥F2B，∴ba＝bc－a，∴c＝2a，∴离心率e＝ca＝2.答案：2[把脉考情]考什么1.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质(离心率、双曲线的渐近线)2.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程(曲线的定义、求曲线方程，求参数)考多深常在选择题、填空题中考查，求圆锥曲线的标准方程常在解答题第(1)问中出现试题难度中等，分值5～10分考多宽考查椭圆、双曲线的离心率或其取值范围，与双曲线的渐近线相关的问题．以及圆锥曲线的标准方程，常与三角形面积、平面向量、圆相结合考查，考查直观想象、数学运算的核心素养，注意数形结合、转化化归思想的应用圆锥曲线的几何性质题点1：离心率问题[典例1](1)(2019·盘锦模拟)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.5B．2C.3D.2(2)已知F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.55，1B.22，1C.0，55D.0，22(3)(2019·安徽示范高中联考)已知直线l：y＝kx＋2过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，且与圆x2＋y2＝8交于点M，N，若|MN|≥25，则双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，6]B.1，62C.62，＋∞D．[6，＋∞)[解析](1)设双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．如图所示，可知|AB|＝|BM|＝2a，∠ABM＝120°，则∠MBx＝60°.设B(a,0)，M(x0，y0)，则直线BM的方程为y＝3(x－a)．从而y0＝3(x0－a)，∴x0－a＝y03.又|BM|2＝(x0－a)2＋y20＝4y203＝4a2，∴y0＝3a，∴x0＝2a.又点M(2a，3a)在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，∴b2a2＝1，∴e＝ca＝1＋b2a2＝2.(2)∵F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，∴F1(－c,0)，F2(c,0)，c2＝a2－b2.设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2.联立方程组x2＋y2＝c2，x2a2＋y2b2＝1，整理得，x2＝(2c2－a2)·a2c2≥0，解得e≥22.又0＜e＜1，∴22≤e＜1.(3)设圆心到直线l的距离为d(d0)，因为|MN|≥25，所以28－d2≥25，即0d≤3.又d＝21＋k2，所以21＋k2≤3，解得|k|≥33.由直线l：y＝kx＋2过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，得|k|＝bc.所以bc≥33，即b2c2≥13，所以c2－a2c2≥13，即1－1e2≥13，所以e≥62，于是双曲线的离心率e的取值范围是62，＋∞.故选C.[答案](1)D(2)B(3)C增分方略求解与椭圆或双曲线的离心率有关的问题时，不要忽略了椭圆的离心率e∈(0,1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，否则容易产生增解或者扩大所求离心率的取值范围．题点2：焦点弦问题[典例2]如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A．5B．6C.163D.203[一题多解](在发散思维中整合知识)如图所示，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4.由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.法一：判别式法设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，则|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以x1＝3，解得y1＝23，可知A(3，23)，又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝233－1＝3，所以直线AF的方