2020版新高考二轮复习理科数学专项小测221719题二选一解析

专项小测(二十二)“17～19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，Sn＋1－1＝Sn＋an，数列{bn}为等比数列，满足b1＝4b3，b2＝14＜b1，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列1anan＋1的前n项和为Wn，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Wn与1Tn的大小．解：(1)由a1＝1，Sn＋1－1＝Sn＋an，可得an＋1＝an＋1，即数列{an}为首项和公差均为1的等差数列，可得an＝n.(3分)数列{bn}为等比数列，满足b1＝4b3，b2＝14＜b1，n∈N*.设公比为q，可得b1＝4b1q2，可得q＝±12，当q＝12时，12b1＝14，可得b1＝12＞14，q＝－12不成立，舍去，所以bn＝12n.(6分)(2)因为1anan＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，(8分)所以Wn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1＜1，(10分)所以Tn＝121－12n1－12＝1－12n∈(0,1)，则1Tn＞1，即有Wn＜1Tn.(12分)18．(12分)在五边形AEBCD中，BC⊥CD，CD∥AB，AB＝2CD＝2BC，AE⊥BE，AE＝BE(如图)，将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O(如图)．(1)求证：平面ABE⊥平面DOE；(2)求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小．解：(1)由题意AB＝2CD，O是线段AB的中点，则OB＝CD.又CD∥AB，则四边形OBCD为平行四边形，又BC⊥CD，则AB⊥OD.(2分)因为AE＝BE，OB＝OA，则EO⊥AB.又EO∩DO＝O，则AB⊥平面EOD.(4分)又AB⊂平面ABE，故平面ABE⊥平面EOD.(6分)(2)由(1)易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，△EAB为等腰直角三角形，且AB＝2CD＝2BC，则OA＝OB＝OD＝OE，取CD＝BC＝1，则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)，则CD→＝(－1,0,0)，DE→＝(0，－1,1)．设平面ECD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·CD→＝0，n·DE→＝0，则－x＝0，－y＋z＝0，令z＝1，得平面ECD的一个法向量n＝(0,1,1)．(8分)因为OD⊥平面ABE，所以平面ABE的一个法向量为OD→＝(0,1,0)．(10分)设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，则cosθ＝|cos〈OD→，n〉|＝|0×0＋1×1＋0×1|1×12＋12＝22.因为θ∈(0°，90°)，所以θ＝45°，故平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为45°.(12分)19．(12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，A()2，0是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，点C在第一象限，且AC→·BC→＝0，|OC→－OB→|＝2|AB→＋BC→|.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B，若∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数λ，使得PQ→＝λAB→？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ的长．解：(1)∵AC→·BC→＝0，∴∠ACB＝90°.∵|OC→－OB→|＝2|AB→＋BC→|，即|BC→|＝2|AC→|，∴△AOC是等腰直角三角形．∵A()2，0，∴C()1，1，而点C在椭圆上，∴1a2＋1b2＝1，a＝2，∴b2＝43，∴所求椭圆方程为x24＋y243＝1.(2)对于椭圆上两点P，Q.∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，∴PC与CQ所在直线关于x＝1对称，令kPC＝k，则kCQ＝－k.∵C()1，1，∴PC的直线方程为y＝k()x－1＋1，①QC的直线方程为y＝－k()x－1＋1,②将①代入x24＋3y24＝1，得()1＋3k2x2－6k()k－1x＋3k2－6k－1＝0，③∵C()1，1在椭圆上，∴x＝1是方程③的一个根，∴xP＝3k2－6k－11＋3k2，以－k替换k，得到xQ＝3k2＋6k－13k2＋1，∴kPQ＝k()xP＋xQ－2kxP－xQ＝13.∵∠ACB＝90°，A()2，0，C()1，1，弦BC过椭圆的中心O，∴A()2，0，B()－1，－1，∴kAB＝13，∴kPQ＝kAB，∴PQ∥AB，∴存在实数λ，使得PQ→＝λAB→，|PQ→|＝－12k1＋3k22＋－4k1＋3k22＝1609k2＋1k2＋6≤2303，当9k2＝1k2时，即k＝±33时取等号，|PQ→|max＝2303.又|AB→|＝10，λmax＝230310＝233，∴λ取得最大值时的PQ的长为2303.(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为x＝3＋2cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2.(1)设点M，N分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|MN|的最大值；(2)设直线l：x＝－1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)与曲线C1交于P，Q两点，且|PQ|＝1，求直线l的方程．解：(1)由题意知，曲线C1的普通方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心C1(3,0)，半径r1＝2.曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，圆心C2(0,0)，半径r2＝2.∴|MN|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝3＋2＋2＝7.(5分)(2)将直线l的参数方程代入(x－3)2＋y2＝4中，得(tcosα－4)2＋(tsinα)2＝4，整理得t2－8tcosα＋12＝0，∴Δ＝64cos2α－480.设P，Q两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8cosα，t1t2＝12.由|PQ|＝1及参数t的几何意义，得|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝8cosα2－4×12＝1，解得cosα＝±78，满足Δ0，∴直线l的斜率为tanα＝±157，∴直线l的方程为15x±7y＋15＝0.(10分)23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝2|x＋1|－|x－a|(a∈R)．(1)当a＝2时，作出函数f(x)的图象，并写出不等式f(x)≥6的解集；(2)当x∈[－1,1]时，若不等式f(x)≤2恒成立，求实数a的取值范围．思路分析：(1)当a＝2时，f(x)＝－x－4，x＜－1，3x，－1≤x≤2，x＋4，x＞2，利用分段函数求解；(2)由x∈[－1,1]，可得f(x)＝2x＋2－|x－a|，所以f(x)≤2转化为2x＋2－|x－a|≤2，即|x－a|≥2x可解．解：(1)当a＝2时，f(x)＝2|x＋1|－|x－2|＝－x－4，x＜－1，3x，－1≤x≤2，x＋4，x＞2，作出的函数图象如下：(3分)从图中可知，不等式f(x)≥6的解集为(－∞，－10]∪[2，＋∞)．(5分)(2)因为x∈[－1,1]，所以f(x)＝2|x＋1|－|x－a|＝2x＋2－|x－a|，所以f(x)≤2转化为2x＋2－|x－a|≤2，即得|x－a|≥2x对x∈[－1,1]恒成立，即x－a≥2x或x－a≤－2x，也就是a≤－x或a≥3x对x∈[－1,1]恒成立，(8分)所以a≤－1或a≥3，故实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(10分)