2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练四转化与化归思想解析

专题强化训练(四)转化与化归思想一、选择题1．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．30C．26D．16解析：取n＝1，则{an}满足S1＝a1＝2，S3＝14，∴q＝2，S4＝30，故选B.答案：B2．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为()A.77B.78C.714D.5714解析：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以不妨设a＝(1,0)，b＝－12，32，则2a－b＝52，－32，所以a·(2a－b)＝52，故cos〈a,2a－b〉＝a·2a－b|a|·|2a－b|＝521×7＝5714.答案：D3．已知P，Q是椭圆3x2＋5y2＝1上满足∠POQ＝90°的两个动点，则1|OP|2＋1|OQ|2等于()A．34B．8C.815D.34225解析：(特例法)取两特殊点P33，0，Q0，55即两个端点，则1|OP|2＋1|OQ|2＝3＋5＝8，故选B.答案：B4．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝2cos2x－sin2x＋2sin2x＋2cos2x＝4cos2x＋sin2x＝3cos2x＋1＝3·cos2x＋12＋1＝3cos2x2＋52，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为32＋52＝4，故选B.答案：B5．为了得到函数y＝sin2x＋2π3的图象，只需把函数y＝cos2x－π3的图象()A．向左平移π2个单位长度B．向右平移π2个单位长度C．向左平移π4个单位长度D．向右平移π4个单位长度解析：y＝cos2x－π3＝cosπ3－2x＝sinπ2－π3－2x＝sinπ6＋2x＝sin2x－π4＋2π3，所以只需把函数y＝cos2x－π3的图象向左平移π4个单位长度，即可得到函数y＝sin2x＋2π3的图象．故选C.答案：C6．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析：利用基本不等式转化为关于x＋y的不等式，求解不等式即可．∵2x＋2y≥22x＋y，2x＋2y＝1，∴22x＋y≤1.∴2x＋y≤14＝2－2，∴x＋y≤－2.即x＋y∈(－∞，－2]．答案：D7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，则cbsinB的值为()A.12B.32C．2D.233解析：∵b2＝ac，∴a2＋bc＝c2＋ac＝c2＋b2.∴a2＝b2＋c2－bc，又a2＝b2＋c2－2bccosA，∴cosA＝－12，sinA＝32.又由b2＝ac可得sin2B＝sinA·sinC，∴cbsinB＝sinCsin2B＝1sinA＝233.故选D.答案：D8．[2019·河南名校联盟]已知tanθ＋π4＝3，则cos2θ－π4＝()A.35B.45C.210D.7210解析：由tanθ＋π4＝tanθ＋11－tanθ＝3，解得tanθ＝12，则cos2θ－π4＝22(cos2θ＋sin2θ)＝22×cos2θ－sin2θ＋2sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝22×1－tan2θ＋2tanθ1＋tan2θ＝7210，故选D.答案：D9．若函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．[－1,1]B.－1，13C.－13，13D.－1，－13解析：取a＝－1，则f(x)＝x－13sin2x－sinx，f′(x)＝1－23cos2x－cosx，但f′(0)＝1－23－1＝－230，不具备在(－∞，＋∞)上单调递增的条件，故排除A，B，D.故选C.答案：C10．[2019·山西晋城三模]已知a＝ln33，b＝e－1，c＝3ln28，则a，b，c的大小关系为()A．bacB．acbC．abcD．bca解析：a＝ln33＝ln33，b＝e－1＝lnee，c＝3ln28＝ln88.构造函数f(x)＝lnxx(x0)，则f′(x)＝1－lnxx2.由f′(x)＝0得x＝e，当x∈(0，e)时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递减，所以[f(x)]max＝f(e)＝1e＝b，且f(3)f(8)，即ac，所以bac，故选A.答案：A11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2－y2＝λ(λ为正常数)上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|·|MN|的值为()A.λ4B.λ2C．λD．无法确定解析：因为M为双曲线上任一点，所以可取M为双曲线的右顶点，由渐近线y＝x知△OMN为等腰直角三角形，此时|OM|＝λ，|ON|＝|MN|＝λ2，所以|ON|·|MN|＝λ2.答案：B12．[2019·陕西重点中学联考]将函数f(x)＝sinx的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝f(x)＋2g(x)的最大值为()A.5B．2C.3D．22解析：由题可知g(x)＝sinx－π4，y＝f(x)＋2g(x)＝2sinx－π4＋sinx＝2sinx－cosx＝5sin(x－φ)，所以y＝f(x)＋2g(x)的最大值为5，故选A.答案：A13．若ab0，且ab＝1，则下列不等式成立的是()A．a＋1bba2log2(a＋b)B.b2alog2(a＋b)a＋1bC．a＋1blog2(a＋b)b2aD．log2(a＋b)a＋1bb2a解析：解法一：(直接法)由题意得a1,0b1，∴b2a1，log2(a＋b)log22ab＝1，，故选B.解法二：(特值法)，令a＝3，b＝13，则a＋1b＝6，log2(a＋b)＝log21032，b2a＝1323＝124，即a＋1blog2(a＋b)b2a，故选B.答案：B14．[2019·湖南怀化一模]过抛物线y2＝4x的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则四边形ABCD面积的最小值为()A．8B．16C．32D．64解析：显然焦点F的坐标为(1,0)，所以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x并整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝2＋4k2，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋4k2，同理可得|CD|＝4＋4k2，所以S＝12|AB||CD|＝12·4k2＋1k2·4(k2＋1)＝8·k2＋12k2＝8k2＋1k2＋2≥32，故选C.答案：C15．[2019·北师大实验中学二模]已知函数f(x)＝lnxx2，若方程f(x)－a＝0恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A．0a12eB．a12eC．a2eD．a12e解析：f′(x)＝x－2xlnxx4＝1－2lnxx3，令f′(x)＝0，得lnx＝12，当x∈()0，e时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈()e，＋∞时，f′(x)0，f(x)单调递减，所以当x＝e时，f(x)取得最大值为12e，所以f(x)的大致图象如图所示．要使方程f(x)－a＝0恰有两个不同的实数根，即函数y＝a与函数y＝f(x)有两个不同的交点，则0a12e，故选A.答案：A16．若抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，过M，N两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T，则FT→·MN→的值为()A．0B．1C．2D．3解析：解法一：依题意可知，F(0,1)，直线MN不与x轴垂直，所以设直线MN的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y，得x2－4kx－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，MN→＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))．由x2＝4y，得y′＝12x，所以切线MT的方程为y－y1＝12x1(x－x1)①，切线NT的方程为y－y2＝12x2(x－x2)②，由①②得，Tx1＋x22，x1x24，即T(2k，－1)，则FT→＝(2k，－2)，所以FT→·MN→＝0.解法二：取特殊位置，令直线MN平行于x轴，则T为(0，－1)，FT⊥MN.FT→·MN→＝0.故选A.答案：A二、填空题17．已知等差数列{an}中，a3＝π4，则cos(a1＋a2＋a6)＝________.解析：令an＝π4，则cos(a1＋a2＋a6)＝cos3π4＝－22.答案：－2218．如图，在三棱锥S－ABC中，E，F，G，H分别为SA，AC，BC，SB的中点，则截面EFGH将该三棱锥分成的两部分的体积之比VABGHEFVSCGHEF＝________.解析：解法一：(常规解法)如图，取AB的中点I，连接HI，GI，则VH－IBG＝18VS－ABC，VAEF－IHG＝3VH－IBG＝38VS－ABC，所以VABGHEF＝VAEF－IHG＋VH－IBG＝12VS－ABC，所以VSCGHEF＝VS－ABC－VABGHEF＝12VS－ABC.所以答案为1.解法二：(秒杀解法)由于图形不确定，而答案固定，故假设该三棱锥为正四面体，则所截得的两部分形状一样，体积相等，故答案为1.答案：119．过抛物线y＝ax2(a0)的焦点F，作一条直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则1p＋1q等于________．解析：由y＝ax2得x2＝1ay，取特殊位置，当PQ为通径端点时，p＝q＝12a，则1p＋1q＝4a.答案：4a20．[2019·福州五校联考]如图所示，在△ABC中，AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且AO→＝2AK→，过点K的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n＝________.解析：当过点K的直线与BC平行时，MN就是△ABC的一条中位线(∵AO→＝2AK→，∴K是AO的中点)．这时由于有AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，因此m＝n＝2，故m＋n＝4.答案：4