备战新课标高考理科数学2020124小题提速练一解析

提高小题的解题速度“12＋4”小题提速练一为解答后面的大题留足时间一、选择题1．已知集合A＝{x|y＝2＋x－x2}，B＝{x|x2＜9，x∈Z}，则A∩B＝()A．[－1,2]B．{0,1}C．{0,2}D．{－1,0,1,2}解析：选D由2＋x－x2≥0，得－1≤x≤2，∴A＝[－1,2]，由题意得B＝{－2，－1,0,1,2}，∴A∩B＝{－1,0,1,2}，故选D.2．若复数z＝i1＋i(i为虚数单位)，则z·z＝()A.12iB．－14C.14D.12解析：选D法一：∵z＝i1＋i＝i1－i2＝1＋i2＝12＋i2，∴z＝12－i2，∴z·z＝12＋i212－i2＝12，故选D.法二：∵z＝i1＋i，∴|z|＝|i||1＋i|＝22，∴z·z＝|z|2＝12，故选D.3．已知a，b是两个相互垂直的单位向量，且c·a＝3，c·b＝1，则|b＋c|＝()A.6B.7C．22D．2＋3解析：选B因为向量a，b是相互垂直的单位向量，所以设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，又c·a＝3，c·b＝1，所以x＝3，y＝1，即c＝(3，1)，所以b＋c＝(3，2)，所以|b＋c|＝32＋22＝7，故选B.4．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N(84，σ2)，且P(78＜X≤84)＝0.3.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为()A．60B．80C．100D．120解析：选B根据正态分布曲线的对称性可知P(84＜X＜90)＝0.3，所以P(X≥90)＝0.2.所以该校数学成绩不低于90分的人数约为400×0.2＝80.5．已知命题p：m∈(0,2)，命题q：双曲线x2m－y2m＋2＝1的离心率e＞3，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若x2m－y2m＋2＝1表示双曲线，则m(m＋2)＞0，所以m＞0或m＜－2，又离心率e＞3，所以m＞0，1＋m＋2m＞3或m＜－2，1＋－m－m＋2＞3，所以0＜m＜2或－4＜m＜－2，所以命题q：－4＜m＜－2或0＜m＜2，又命题p：m∈(0,2)，所以p是q的充分不必要条件，故选A.6．如图，某几何体的三视图都是边长为1的正方形，则该几何体的体积为()A.12B.56C.13D.23解析：选D由几何体的三视图可得该几何体是将棱长为1的正方体截掉三棱锥A­BCD和三棱锥E­BDF之后剩余的部分，如图，所以该几何体的体积为1－2×13×12×1×1×1＝23，故选D.7．已知向量a＝(1,3)，b＝(sinα，cosα)，若a∥b，则tanα＋π4＝()A．－3B．－2C.23D．2解析：选D因为a∥b，所以3sinα＝cosα⇒tanα＝13，所以tanα＋π4＝13＋11－13＝2.8．(2019·合肥一模)已知等差数列{an}，若a2＝10，a5＝1，则{an}的前7项和等于()A．112B．51C．28D．18解析：选C法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意，得d＝a5－a25－2＝－3，a1＝a2－d＝13，则S7＝7a1＋7×7－12d＝7×13－7×9＝28，故选C.法二：设等差数列{an}的公差为d，由题意，得d＝a5－a25－2＝－3，∴a3＝7，∴S7＝7a1＋a72＝7a3＋a52＝28.9．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，他前一球投进则后一球投进的概率为34，他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为()A.34B.58C.716D.916解析：选B由题意，他投进第2个球的概率P2＝34×34＋14×1－34＝58.10．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.2－1B.5－12C.22D.2＋1解析：选A不妨设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝22c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋22c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝2－1.11．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)cos(ωx＋φ)＋cos2(ωx＋φ)－12ω＞0，0≤φ≤π2的图象相邻的两条对称轴之间的距离为π2，若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到奇函数g(x)的图象，则f(x)的一个单调递增区间为()A.－π4，π4B.－π6，π3C.－5π12，π12D.－π3，π6解析：选Cf(x)＝32sin(2ωx＋2φ)＋12cos(2ωx＋2φ)＝sin2ωx＋2φ＋π6，∵函数f(x)的图象相邻的两条对称轴之间的距离为π2，∴2π2ω×12＝π2，∴ω＝1，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到奇函数g(x)的图象，∴g(x)＝sin2x－π6＋2φ＋π6＝sin2x＋2φ－π6，2φ－π6＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ2＋π12(k∈Z)，又0≤φ≤π2，∴φ＝π12，∴f(x)＝sin2x＋π3，令2x＋π3∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，得x∈kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)，取k＝0，得x∈－5π12，π12，故选C.12．(2019·厦门一检)双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作一条直线与两条渐近线分别相交于A，B两点，若F1B→＝2F1A→，|F1F2|＝2|OB|，则双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D．3解析：选C如图，连接F2B，因为|F1F2|＝2|OB|，且O为F1，F2的中点，所以∠F1BF2＝90°.因为F1B→＝2F1A→，所以A为线段F1B的中点，所以OA∥F2B，所以OA⊥F1B，所以∠AOF1＝∠AOB.因为直线OA与OB是双曲线的两条渐近线，所以∠AOF1＝∠BOF2，所以∠BOF2＝60°，则ba＝tan∠BOF2＝3，所以双曲线的离心率e＝ca＝1＋ba2＝2，故选C.二、填空题13．已知实数x，y满足约束条件2x－y＋4≥0，x－y－1≤0，x＋2y－1≤0，则目标函数z＝y－x的最小值为________．解析：根据线性约束条件可得可行域为△ABC(包括边界)，如图所示，作出直线x－y＝0并平移，可知当直线与直线x－y－1＝0重合时，z取得最小值，∴zmin＝－1.答案：－114.1x－1(x＋1)5的展开式中，x的系数为______(用数字作答)．解析：1x－1(x＋1)5的展开式中，含x的项为1xC15(x)4和－1×C35(x)2，故x的系数为C15－C35＝－5.答案：－515．已知函数f(x)＝x2－2ax＋9，x≤1，x＋4x＋a，x＞1，若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围是________．解析：由题意可知要保证f(x)的最小值为f(1)，需满足a≥1，f2≥f1，解得a≥2.答案：[2，＋∞)16．已知一族双曲线En：x2－y2＝n2019(n∈N*，且n≤2019)，设直线x＝2与En在第一象限内的交点为An，点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn，Cn.记△AnBnCn的面积为an，则an＝________，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝________.解析：因为双曲线的方程为x2－y2＝n2019(n∈N*，且n≤2019)，所以其渐近线方程为y＝±x，设点An(2，yn)，则4－y2n＝n2019(n∈N*，且n≤2019)．记An(2，yn)到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则S△AnBnCn＝12d1d2＝12×|2＋yn|2×|2－yn|2＝|4－y2n|4＝n20194＝n4×2019，故an＝n4×2019，因此{an}为等差数列，故a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝14×2019×2019＋2019×20182×14×2019＝5052.答案：n4×20195052