专题08数列2019年高考真题和模拟题分项汇编数学文解析

专题08数列1．【2019年高考全国III卷文数】已知各项均为正数的等比数列na的前4项和为15，且53134aaa，则3aA．16B．8C．4D．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为q，则231111421111534aaqaqaqaqaqa，解得11,2aq，2314aaq，故选C．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.2．【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，nN，则A．当101,102baB．当101,104baC．当102,10baD．当104,10ba【答案】A【解析】①当b=0时，取a=0，则0,nanN.②当0b时，令2xxb，即20xxb.则该方程140b，即必存在0x，使得2000xxb，则一定存在10==aax，使得21nnnaaba对任意nN成立，解方程20aab，得1142ba，当114102b时，即90b…时，总存在1142ba，使得121010aaa，故C、D两项均不正确.③当0b时，221aabb，则2232aabbb，22243aabbbb….（ⅰ）当12b时，22451111711,1222162aa，则26111112224a，2719222a，28918310224a，则2981102aa，21091102aa，故A项正确.（ⅱ）当14b时，令1==0aa，则2231111,4442aa，所以224311114242aa，以此类推，所以2210911114242aa，故B项不正确.故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.3．【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列{an}的前n项和.若13314aS，，则S4=___________．【答案】58【解析】设等比数列的公比为q，由已知223111314Saaqaqqq，即2104qq.解得12q，所以441411()(1)521181()2aqSq．【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算3343431315()428SSaSaq，避免繁分式计算．4．【2019年高考全国III卷文数】记nS为等差数列na的前n项和，若375,13aa，则10S___________.【答案】100【解析】设等差数列na的公差为d，根据题意可得317125,613aadaad得11,2ad101109109101012100.22Sad【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.5．【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()nanN是等差数列，nS是其前n项和.若25890,27aaaS，则8S的值是__________．【答案】16【解析】由题意可得：25811191470989272aaaadadadSad，解得：152ad，则8187840282162Sad.【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1ad,的方程组.6．【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．（I）若a3=4，求{an}的通项公式；（II）若a10，求使得Sn≥an的n的取值范围．【答案】（I）210nan；（II）110()nnN.【解析】（I）设na的公差为d．由95Sa得140ad．由a3=4得124ad．于是18,2ad．因此na的通项公式为102nan．（II）由（I）得14ad，故(9)(5),2nnnndandS.由10a知0d，故nnSa等价于211100nn„，解得1≤n≤10．所以n的取值范围是{|110,}nnnN．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.7．【2019年高考全国II卷文数】已知{}na是各项均为正数的等比数列，1322,216aaa.（I）求{}na的通项公式；（II）设2lognnba，求数列{}nb的前n项和．【答案】（I）212nna；（II）2nSn.【解析】（I）设na的公比为q，由题设得22416qq，即2280qq．解得2q（舍去）或q=4．因此na的通项公式为121242nnna．（II）由（I）得2(21)log221nbnn，因此数列nb的前n项和为21321nn．【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.8．【2019年高考北京卷文数】设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．【答案】（Ⅰ）212nan；（Ⅱ）当5n或者6n时，nS取到最小值30.【解析】（Ⅰ）设na的公差为d．因为110a，所以23410,102,103adadad．因为23410,8,6aaa成等比数列，所以23248106aaa．所以2(22)(43)ddd．解得2d．所以1(1)212naandn．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，212nan．所以，当7n时，0na；当6n时，0na．所以，nS的最小值为630S．【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.9．【2019年高考天津卷文数】设{}na是等差数列，{}nb是等比数列，公比大于0，已知1123323,,43abbaba.（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）设数列{}nc满足21nnncbn，为奇数,，为偶数.求*112222()nnacacacnN.【答案】（I）3nan，3nnb；（II）22(21)369()2nnnnN【解析】（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q.依题意，得2332,3154,qdqd解得3,3,dq故133(1)3,333nnnnannb.所以，na的通项公式为3nan，nb的通项公式为3nnb.（Ⅱ）112222nnacacac135212142632nnnaaaaabababab123(1)36(6312318363)2nnnnn2123613233nnn.记1213233nnTn,①则231313233nnTn,②②−①得，12311313(21)332333331332nnnnnnnTnn.所以，122112222(21)3336332nnnnnacacacnTn22(21)3692nnnnN.【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.10．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（I）已知等比数列{an}()nN满足：245132,440aaaaaa，求证:数列{an}为“M－数列”；（II）已知数列{bn}()nN满足:111221,nnnbSbb，其中Sn为数列{bn}的前n项和．①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}()nN，对任意正整数k，当k≤m时，都有1kkkcbc剟成立，求m的最大值．【答案】（I）见解析；（II）①bn=n*nN；②5.【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.由245321440aaaaaa，得244112111440aqaqaqaqa，解得112aq．因此数列{}na为“M—数列”.（2）①因为1122nnnSbb，所以0nb．由1111,bSb，得212211b，则22b.由1122nnnSbb，得112()nnnnnbbSbb，当2n时，由1nnnbSS，得111122nnnnnnnnnbbbbbbbbb，整理得112nnnbbb．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{bn}的通项公式为bn=n*nN.②由①知，bk=k，*kN.因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ck≤bk≤ck+1，所以1kkqkq，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有lnlnln1kkqkk．设f（x）=ln(1)xxx，则21ln()xf'xx．令()0f'x，得x=e.列表如下：x(1,e)e(e，+∞)()f'x+0–f（x）极大值因为ln2ln8ln9ln32663，所以maxln3()(3)3fkf．取33q，当k=1，2，3，4，5时，lnlnkqk„，即kkq，经检验知1kqk也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．11．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}na的前n项和为nS，34a，43aS，数列{}nb满足：对每个12,,,nnnnnnnSbSbSbN成等比数列．（I）求数列{},{}nnab的通项公式；（II）记,,2nnnacnbN证明：12+2,.ncccnnN【答案】（I）21nan，1nbnn；（II）证明见解析.【解析】（I）设数列{}na的公差为d，由题意得11124,333adadad，解得10,2ad．从而*22,nannN．所以2*nSnnnN，，由12,,nnnnnnSbSbSb成等比数列得212nnnnnnSbSbSb．解得2121nnnnbSSSd．所以2*,nbnnnN．（II）*221,22(1)(1)nnnanncnbn