备战新课标高考理科数学202031保分大题强化练五解析

保住基本分·才能得高分“3＋1”保分大题强化练五前3个大题和1个选考题不容有失1．已知数列{an}满足a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，设bn＝ann＋1.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等差数列，并说明理由；(3)求数列{an}的通项公式．解：(1)因为数列{an}满足(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，所以将n＝1代入得3a1＝2a2－12.又a1＝2，所以a2＝9.将n＝2代入得4a2＝3a3－24，所以a3＝20.从而b1＝1，b2＝3，b3＝5.(2)数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．理由如下：将(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)两边同时除以(n＋1)(n＋2)，化简可得an＋1n＋2－ann＋1＝2，即bn＋1－bn＝2，所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．(3)由(2)可得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝(n＋1)bn＝(n＋1)(2n－1)＝2n2＋n－1.2.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，PA＝PC＝2，且平面ACP⊥平面ABCD.(1)求证：CB⊥PD；(2)求二面角C­PB­A的余弦值．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接PO，由题意知O为AC的中点，∵PA＝PC，∴PO⊥AC，∵平面ACP⊥平面ABCD，平面ACP∩平面ABCD＝AC，∴PO⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC.∵BD＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝3，∴BD2＋BC2＝CD2，∴BC⊥BD.又BD∩PO＝O，∴BC⊥平面PBD.∵PD⊂平面PBD，∴CB⊥PD.(2)由(1)知DA⊥DB，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D与平面ADB垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系．由(1)知PO⊥平面ABCD，则PO∥z轴．由平面几何知识易得AO＝72，PO＝32，则A(1,0,0)，B(0，3，0)，P0，32，32，C(－1，3，0)，于是BC→＝(－1,0,0)，BP→＝0，－32，32，BA→＝(1，－3，0)，设平面PBC的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·BC→＝0，n1·BP→＝0，即－x＝0，－32y＋32z＝0，取z＝1，则y＝3，所以n1＝(0，3，1)为平面PBC的一个法向量．设平面PBA的法向量为n2＝(a，b，c)，则n2·BP→＝0，n2·BA→＝0，即－32b＋32c＝0，a－3b＝0，取a＝3，则b＝3，c＝1，所以n2＝(3，3，1)为平面PBA的一个法向量．于是cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝4213＝21313，由图知，二面角C­PB­A为钝角，所以二面角C­PB­A的余弦值为－21313.3．中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入(单位：千元)并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)．(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题：①在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式6.92≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)x＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(2)由题意知，X～N(17.40,6.92)．①P(X＞μ－σ)≈0.5＋0.68272≈0.8414，μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，即最低年收入大约为14.77千元．②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)≈0.5＋0.95452≈0.9773，得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，记这1000位农民中年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B(103，p)，其中p＝0.9773，于是恰好有k位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P(ξ＝k)＝Ck103pk(1－p)103－k，从而由Pξ＝kPξ＝k－1＝1001－k×pk×1－p＞1，得k＜1001p，而1001p＝978.2773，所以，当0≤k≤978时，P(ξ＝k－1)＜P(ξ＝k)，当979≤k≤1000时，P(ξ＝k－1)＞P(ξ＝k)，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)4．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρsinθ＋π4＝22，C2：ρ2＝13－4sin2θ.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)曲线C1和C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标．解：(1)由ρsinθ＋π4＝22得ρsinθcosπ4＋cosθsinπ4＝22，将ρsinθ＝y，ρcosθ＝x代入上式得x＋y＝1，∴C1的直角坐标方程为x＋y＝1.同理由ρ2＝13－4sin2θ可得3x2－y2＝1.∴C2的直角坐标方程为3x2－y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由3x2－y2＝1，x＋y＝1得3x2－(1－x)2＝1，即x2＋x－1＝0.∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，则MN的中点坐标为－12，32.∴|MN|＝1＋－12|x1－x2|＝2×1－4×－1＝10.∴以MN为直径的圆的方程为x＋122＋y－322＝1022.令x＝0，得14＋y－322＝104，即y－322＝94，∴y＝0或y＝3，∴以MN为直径的圆与y轴的交点的坐标为(0,0)，(0,3)．5．[选修4－5：不等式选讲]已知f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.(1)当a＝－1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若存在x0∈R，使得f(x0)≥g(x0)成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，原不等式可化为|x＋1|－2|x|≥－1.设φ(x)＝|x＋1|－2|x|，则φ(x)＝x－1，x≤－1，3x＋1，－1＜x＜0，－x＋1，x≥0，由x≤－1，x－1≥－1或－1＜x＜0，3x＋1≥－1或x≥0，－x＋1≥－1，解得－23≤x≤2.∴原不等式的解集为x－23≤x≤2.(2)存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立，等价于|x＋1|≥2|x|＋a有解，即φ(x)≥a有解，即a≤φ(x)max.由(1)可知，φ(x)在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．∴φ(x)max＝φ(0)＝1，∴a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]．