立体几何初步复习

1学校：年级：教学课题：立几初步学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学目标复习立体几何初步的内容教学内容一、空间几何体的结构及其三视图和直观图1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相_______，其余各面都是__________，且每相邻的两个四边形的公共边都__________，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE特征：两底面是对应边平行的_____________；侧面、对角面都是平行四边形,侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥:定义：有一个面是_______，其余各面都是有一个公共顶点的________，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面__________，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个___________的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDCBAP特征：①上下底面是_______平行多边形②侧面是_________________,③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以______的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体.特征：①底面是__________；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个_______。（5）圆锥：定义：以_________的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体.2特征：①底面是一个____；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个_____。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分.判断台体的方法：○1两底面平行；○2侧棱延长线交于一点。特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以__________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为______；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是_______；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为_______；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为__________；特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）;俯视图（从上向下）;正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。3常见几何体的三视图：1、圆柱的正视图和侧视图是全等的矩形，俯视图为圆；2、圆锥的正视图和侧视图是三角形，俯视图为圆和圆心；3、圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图为两个同心圆；4、球的三视图都是圆.注：1、三视图的排列方法是侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下面；2、一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图和正视图的长度一样，侧视图和俯视图的宽度一样，即：长对正，高平齐，宽相等.例题精讲例1.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为.例2已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积.解建立如图所示的xOy坐标系，△ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为△ABC的高，把y轴绕原点顺时针旋转45°得y′轴，则点C变为点C′，且OC=2OC′，A、B点即为A′、B′点，AB=A′B，已知A′B′=A′C′=a，在△OA′C′中，由正弦定理得''sinCOAOC=45sin''CA，所以OC′=a45sin120sin=a26,6a=a262.所以原三角形ABC的高OC=6a，所以S△ABC=21×a×例3下列结论不正确的是（填序号）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案①②③解析①错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥.②错误.如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.41121③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.④正确.例4.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】A.13B.23C.1D.2解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为122121练习1.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A）283（B）83（C）82（D）232.某几何体的三视图如上图所示,则其体积为二、空间点、直线、平面之间的位置关系“空间点、直线、平面之间的位置关系”包括平面、空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系，空间中平面与平面的位置关系。推理依据的4个公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。2215定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。平行和垂直是空间中最重要的两种关系。平行反映了空间的平直性，垂直反映了空间的对称性。1、直线与直线：我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。空间中两条直线的位置关系有三种：为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托。公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。用符号语言表示如下设a,b,c是三条直线，a∥ba∥cc∥ba,b,c三条直线两两平行，可以记为a∥b∥c这个公理实质上就是说平行具有传递性，在平面内，在空间，这个性质都是不变的。abbαβab共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点。平行直线：同一平面内，没有公共点。异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。6三、平行关系1、直线与平面一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：位置关系直线a在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行公共点符号表示图形表示2、直线与平面平行（1）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此为证明直线与平面平行的原始依据.（2）判定判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.认知：应用此定理证题的三个环节：指出.（3）性质性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.1、两个平面的位置关系（1）定义：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行.（2）两个平面的位置关系（ⅰ）两个平面平行——没有公共点；（ⅱ）两个平面相交——有一条公共直线.2、两个平面平行（1）判定判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.判定定理2：（线面垂直性质定理）：垂直于同一条直线的两个平面平行.（2）性质性质定理1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.性质定理2（定义的推论）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.例1．给定下列四个命题①题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线,,//,////abab②,aa③,//lmlnmn④,,,laala其中，为真命题的是A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④aaa7变式1．给出下列关于互不相同的直线,,lmn和平面,,的三个命题：①若,lm为异面直线，,lm，则//；②若//,,lm，则//lm；③若,,,//lmnl，则//mn其中真命题的个数为A．3B．2C．1D．0题型二：以中位线为突破口的平行证明问题如图，在直三棱柱111ABCABC中，BAC90，11ABACAA，延长11AC至点P，使111CPAC，连接AP交棱1CC于D．求证：1//PB平面1BDA；题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题例3．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，//EFAC，2AB，1CEEF，求证：//AF平面BDE8题型四：三种平行之间的相互关系与转化如图，在长方体1111ABCDABCD中，,EP分别是11,BCAD的中点，,MN分别是1,AEDC的中点，2ABa，1ADAAa，求证://MN面11ADDA【方法与技巧总结】1．熟记立体几何证明中的多个公理，推理，判定定理以及性质定理2．熟练掌握空间中点线面的位置关系的符号表示，并能够适当灵活转化为中文以便理解，在此建立空间的想象能力和空间感，进一步把符号转化为立体图象加以记忆3．熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理，特别重视三角形中位线定理和平行四边形性质定理的应用4．应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面面平行，重视线线平行证明的重要性5．掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化9四、垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直题型一、线面垂直的判定与性质1、已知：如图，P是棱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC求证：ACPBD平面定理图形符号简称○1如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。,,amanmnAamn线线垂直，线面垂直○2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。//aabb线面垂直，线线垂直○3如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。ll线线垂直，面面垂直○4如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。,lmmml面面垂直线线垂直mnaAballmADCBP10题型二、面面垂直的判定与性质4、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上任一点，请写出图中互相垂直的平面，并说明理由。题型三、平行与垂直的综合题(2)PDA=45.PAABCDCDMNPCD。7、已知矩形所在的平面，M,N分别是AB,PC的中点。（1）求证：MN若，求证：平面PCOBANDCBMAP11五、简单几何体的表面积和体积多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体积(V)棱柱棱柱直棱柱棱锥棱锥正棱锥2．旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥球S侧S全V例1、求下列几何体的全面积和体积1、已知正四棱锥的底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为42、在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55。变式：一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2，3，6，求长方体的体积。12RA'C'CAOA'B'C'D'DCBAO例2、1、一个圆柱的侧面展开图是一个边长为a的正方形，求这个圆柱的全面积和体积2、圆锥的母线长为2，侧面的展开图扇形的圆心角为240，求该圆锥的全面积和体积变式：已知圆台的上下底面半径分别是2，5，且侧