直线与抛物线位置关系

第1页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训必考部分第2页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训[第九章]解析几何第3页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训§9.7抛物线第4页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训第2课时直线与抛物线的位置关系第5页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训[考纲展示]1.掌握直线与抛物线的位置关系，能解决有关抛物线的简单问题．2.了解抛物线的简单几何性质.第6页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训基础分层导学第7页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训[必备知识]考点直线与抛物线的位置关系联立y2＝2px，y＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.①相切：k2≠0，Δ＝0；②相交：k2≠0，Δ0；③相离：k2≠0，Δ0.第8页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训[二级结论]1.P为抛物线y2＝2px上任意一点，∠PFx＝θ，则PF＝p1－cosθ.2．抛物线y2＝2px中，斜率为k的弦的中点轨迹为y＝pk.第9页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训[双基夯实]1.[教材习题改编]过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条C第10页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训2．[教材习题改编]已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．0或1解析：联立y＝kx＋2，y2＝8x，得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则满足题意；若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，因此当直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点时，k＝0或1.第11页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训焦点弦的性质，相交弦中点的性质，需要熟练掌握(1)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝()A．9B．8C．7D．9B解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据抛物线定义，可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.第12页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训(2)已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足AF→＝2FB→，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为________．94第13页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训解析：作AA1⊥l，BB1⊥l，设|BF|＝m，过点B作BC⊥AA1于C，由抛物线的定义，知|AA1|＝2m，|BB1|＝m，在△ABC中，|AC|＝m，|AB|＝3m，∴kAB＝22，直线AB的方程为y＝22(x－1)，与抛物线方程联立，消去y得第14页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训2x2－5x＋2＝0，∴AB的中点到准线的距离为x1＋x22＋1＝94.第15页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训题型重点研讨第16页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训考点1直线与抛物线的位置关系(师生共研)[典题1]已知A(8,0)，B，C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足AB→·BP→＝0，BC→＝CP→，(1)求动点P的轨迹方程；(2)是否存在过点A的直线l与动点P的轨迹交于M，N两点，且满足QM→·QN→＝97，其中Q(－1,0)，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．第17页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训[解](1)设B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)，则AB→＝(－8，b)，BP→＝(x，y－b)，BC→＝(c，－b)，CP→＝(x－c，y)．∴AB→·BP→＝－8x＋b(y－b)＝0，①∴由BC→＝CP→，得c＝x－c，－b＝y，将b＝－y代入①，得y2＝－4x.∴动点P的轨迹方程为y2＝－4x.第18页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训(2)当直线l的斜率不存在时，x＝8与抛物线没有交点，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－8)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则QM→＝(x1＋1，y1)，QN→＝(x2＋1，y2)，由QM→·QN→＝97，得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝97.即x1x2＋x1＋x2＋1＋k2(x1－8)(x2－8)＝97，∴(1＋k2)x1x2＋(1－8k2)(x1＋x2)＋64k2＝96.②第19页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训将y＝k(x－8)代入y2＝－4x，得k2x2＋(4－16k2)x＋64k2＝0.∵直线l与y2＝－4x交于不同的两点，∴Δ＝(4－16k2)2－4×k2×64k2＞0，即－24＜k＜24，由根与系数的关系，得x1＋x2＝16k2－4k2，x1x2＝64.代入②式，得第20页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训64(1＋k2)＋(1－8k2)16k2－4k2＋64k2＝96.整理得k2＝14，∴k＝±12.∵k＝±12∉－24，24，∴这样的直线l不存在．综上，不存在过点A的直线l与动点P的轨迹交于M，N两点，且满足OM→·ON→＝97.第21页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训[点石成金]1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒]涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．第22页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训[跟踪训练]如图，已知抛物线C1：y＝14x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t,0)(t＞0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积．第23页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训解：(1)由题意，知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)．由y＝kx－t，y＝14x2，消去y，整理得x2－4kx＋4kt＝0，由于直线PA与抛物线相切，得k＝t.因此，点A的坐标为(2t，t2)．设圆C2的圆心为C2(0,1)，点B的坐标为(x0，y0)．由题意，知点B，O关于直线PC2对称，第24页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训故y02＝－x02t＋1，x0t－y0＝0，解得x0＝2t1＋t2，y0＝2t21＋t2，因此，点B的坐标为2t1＋t2，2t21＋t2.(2)由(1)，知|AP|＝t·1＋t2，直线PA的方程为tx－y－t2＝0.点B到直线PA的距离是d＝t21＋t2.设△PAB的面积为S(t)，则S(t)＝12|AP|·d＝t32.第25页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训考点2焦点弦问题(师生共研)[典题2]设AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：(1)若点A，B在准线上的射影分别为M，N，则∠MFN＝90°；(2)若取MN的中点R，则∠ARB＝90°；(3)以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F；(4)若经过点A和抛物线顶点O的直线交准线于点Q，则BQ平行于抛物线的对称轴．第26页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训[证明](1)由抛物线的定义，知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|.∴∠AMF＝∠AFM，∠BNF＝∠BFN.∵AM∥x轴，BN∥x轴，∴∠AMF＝∠KFM，∠BNF＝∠KFN.∴∠MFN＝∠KFM＋∠KFN＝90°.第27页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训(2)证法一：设P为AB的中点，有|PR|＝12(|MA|＋|NB|)＝12|AB|，则∠ARB＝90°.第28页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训证法二：易知R－p2，y1＋y22，则RA→＝x1＋p2，y1－y22，RB→＝x2＋p2，y2－y12.∴RA→·RB→＝x1＋p2x2＋p2－14(y1－y2)2＝x1x2＋p2(x1＋x2)＋p24－14(y21＋y22)＋12y1y2＝0.∴∠ARB＝90°.第29页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训(3)∵∠MFN＝90°，∴F在以MN为直径的圆上．∵|AF|＝|AM|，|MR|＝|FR|，∴∠MFA＝∠AMF，∠MFR＝∠FMR.∴∠AFR＝∠AFM＋∠MFR＝∠AMF＋∠FMR＝90°.即RF⊥AB，F为垂足．因此，以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F.第30页必考部分第九章§9.7第二课时基础分层导学课时跟踪检测名师伴你行·高考一轮总复习·数学（文）题型重点研讨真题演练集训(4)直线AO的方程为y＝y1x1x，则Q－p2，－py12x1.∵y1y2＝－p2，∴－py12x1＝－p2·y1y212p＝－p2y1＝y2.于是Q－p2，y2与点N重合，因此，BQ平行于x轴，即BQ平行于抛物线的对称轴