样条函数(三次样条)

样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。1.三次样条曲线原理假设有以下节点1.1定义样条曲线是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：a.在每个分段区间（i=0,1,…,n-1，x递增），都是一个三次多项式。b.满足（i=0,1,…,n）c.，导数，二阶导数在[a,b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。所以n个三次多项式分段可以写作：，i=0,1,…,n-1其中ai,bi,ci,di代表4n个未知系数。1.2求解已知:a.n+1个数据点[xi,yi],i=0,1,…,nb.每一分段都是三次多项式函数曲线c.节点达到二阶连续d.左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。插值和连续性：,其中i=0,1,…,n-1微分连续性：,其中i=0,1,…,n-2样条曲线的微分式：将步长带入样条曲线的条件：a.由(i=0,1,…,n-1)推出b.由(i=0,1,…,n-1)推出c.由(i=0,1,…,n-2)推出由此可得：d.由(i=0,1,…,n-2)推出设，则a.可写为：，推出b.将ci,di带入可得：c.将bi,ci,di带入(i=0,1,…,n-2)可得：端点条件由i的取值范围可知，共有n-1个公式，但却有n+1个未知量m。要想求解该方程组，还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。a.自由边界(Natural)首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即。具体表示为和则要求解的方程组可写为：b.固定边界(Clamped)首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。则可以推出将上述两个公式带入方程组，新的方程组左侧为c.非节点边界(Not-A-Knot)指定样条曲线的三次微分匹配，即根据和，则上述条件变为新的方程组系数矩阵可写为：右下图可以看出不同的端点边界对样条曲线的影响：1.3算法总结假定有n+1个数据节点a.计算步长(i=0,1,…,n-1)b.将数据节点和指定的首位端点条件带入矩阵方程c.解矩阵方程，求得二次微分值。该矩阵为三对角矩阵，具体求法参见我的上篇文章：三对角矩阵的求解。d.计算样条曲线的系数：其中i=0,1,…,n-1e.在每个子区间中，创建方程3.例子以y=sin(x)为例,x步长为1，x取值范围是[0,10]。对它使用三次样条插值，插值前后对比如下：