二次函数在闭区间上的最值

二次函数在闭区间上的最值12164,1,44yxx2164,4,74yxx2164,5,84yxx2164,9,114yxx求下列函数的最大值和最小值。1.2.3.4.预习检测xyx=6O1234567891011xyx=6O1234567891011xyx=6O1234567891011xyx=6O12345678910112.求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．解∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a2时，f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.当a4时，f(x)在[2,4]上是减函数，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.∴f(x)min＝6－4a，a22－a2，2≤a≤418－8a，a4.小结此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问题，此类问题应注意对称轴的变化对最值的影响．[解析]对称轴为x＝1，∴当t＋11，即t0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴f(x)min＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋2＝t2＋1.当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)min＝f(1)＝1.当t1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋2.∴f(x)min＝t2＋1，t01，0≤t≤1t2－2t＋2，t1.3.求二次函数f(x)＝x2－2x＋2在[t，t＋1]上的最小值．学习目标：能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间上二次函数最值重点：二次函数在闭区间上最值（1）轴定区间变（2）轴定区间定（3）轴变区间定难点：数形结合、分类讨论思想例1.求函数y=-x2-2x+3在区间[-2,3]上的最值oxyX=-1-313-24-12解：∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4∴函数的对称轴为直线x=-1∴-2≤-1≤3∴当x=-1时，y的最大值为f(-1)=4当x=3时，y的最小值为f(3)=-12一、定函数定区间问题引导下的再学习例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值yx10-1a＞0解：当a=0时，f(x)=1（不合题意）当a≠0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x∈[0,1](1)当a＞0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2，∴a=0.5二、定区间定轴动函数例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值yx10-1a＜0(2)当a0时，f(x)max=f(0)=1-a=2，∴a=-1例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值解：当a=0时，f(x)=1（不合题意）当a≠0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x∈[0,1](1)当a＞0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2，∴a=0.5(2)当a0时，f(x)max=f(0)=1-a=2，∴a=-1综上所述：a=0.5或a=-1yx10-1a＞0yx10-1a＜0解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时y的最大值为f(0)=1-a例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.yOx10X=a三、定区间动轴动函数(2)当0＜a＜1时y的最大值为f(a)=a2-a+1例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.Oxy10X=a(3)当a≥1时y的最大值为f(1)=4+a例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.xy10X=a例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时y的最大值为f(0)=1-a(2)当0＜a＜1时y的最大值为f(a)=a2-a+1(3)当a≥1时y的最大值为f(1)=4+ayOx10X=aOxy10X=axy10X=a思考1：函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2，求a的值.解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时当x=0时y的最大值为2∴a=-1(2)当0＜a＜1时当x=a时y的最大值为2∴a=-1（舍去）(3)当a≥1时当x=1时y的最大值为2∴a=2综上所述：a=-1或a=2yOx10X=aOxy10X=axy10X=a课堂检测思考2：求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最小值.yOx10X=aOxy10X=axy10X=a思考2：求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最小值.1）当＜时，y的最小值为f(1)=4+a2）当≥时，y的最小值为f(0)=1-a2121Oxy10X=a解：∵函数的对称轴为直线x=a解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时y的最小值为f(1)=4+ay的最大值为f(0)=1-a变题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.yOx10X=a完全达标教学(2)当0＜a＜1时y的最大值为f(a)=a2-a+11）当0＜a＜时，y的最小值为f(1)=4+a2）当1＞a≥时，y的最小值为f(0)=1-a2121变题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.Oxy10X=a(3)当a≥1时y的最大值为f(1)=4+ay的最小值为f(0)=1-a变题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.xy10X=a变题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时y的最大值为f(0)=1-ay的最小值为f(1)=4+a(2)当0＜a＜1时y的最大值为f(a)=a2-a+11）当0＜a＜时，y的最小值为f(1)=4+a2）当1＞a≥时，y的最小值为f(0)=1-a(3)当a≥1时y的最大值为f(1)=4+ay的最小值为f(0)=1-a2121yOx10X=aOxy10X=axy10X=ayOx10X=aOxy10X=axy10X=a求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴与区间的关系.（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）中的较大者是最大值,较小者是最小值；（1）检查x0=是否属于[m，n]；ab2（3）当x0[m，n]时，f(m)、f(n)中的较大者是最大值，较小者是最小值.课堂小结二次函数在闭区间上的最值2O-2xy2-11.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值.22x(2)31x(3)(1)Rax2(4)31ymin=-4，无最大值ymax=5ymin=-4ymax=12ymin=0预习检测O-2xy2-122x(2)(3)(1)R31x(3)ax2(4)①当-2≤a-1时aymax=-3,ymin=a2+2a-31.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值.O-2xy2-122x(2)31x(3)(1)Rax2(4)②当-1≤a≤0时a①当-2≤a-1时ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax=-3,ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-31.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值.O-2xy2-122x(2)(1)Rax2(4)③当a0时a②当-1≤a≤0时①当-2≤a-1时31x(3)ymax=a2+2a-3，ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax=-3,ymin=-41.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值.学习目标：能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间上二次函数最值重点：二次函数在闭区间上最值（4）定函数动区间（5）动轴动区间难点：数形结合、分类讨论思想例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；10xy–23问题引导下的再学习例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；10xy234–1（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；问题引导下的再学习例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；y10x234–12125（3）若x∈[],求函数f(x)的最值；25,21例1、已知函数f(x)=x2–2x–3（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函数f(x)的最值；25,2110xy234–1232123,21（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；10xy234–1（5）若x∈[t，t+2]时，求函数f(x)的最值.tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；25,2123,2110xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]时，求函数f(x)的最值.25,2123,2110xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]时，求函数f(x)的最值.25,2123,2110xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]时，求函数f(x)的最值.25,2123,2110xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]时，求函数f(x)的最值.25,2123,21评注：例1属于“轴定区间变”的问题，看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向及端点情况。10xy234–1tt+2例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1，2]上的最值.10xy2–1问题引导下的再学习例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1，2]上的最值.10xy2–1例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1，2]上的最值.10xy2–1例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1，2]上的最值.10xy2–110xy2–110xy2–1例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1，2]上的最值.10xy2–110xy2–1例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1，2]上的最值.评注：例2属于“动轴定区间”的问题，看作对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上变化情况,要注意开口方向及端点情况。10xy2–110xy2–1例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3