平面向量(附例题-习题及答案)

向量的线性运算一．教学目标1.理解向量的概念；2.掌握向量的线性运算；3.理解向量线性运算的几何意义、向量共线的含义、平行向量基本定理；4.理解平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示、平面向量的坐标运算；5.理解用坐标表示平面向量的共线条件。二．知识清单1.向量基本概念（1）向量的定义：既有又有称为向量；（2）向量的大小（或称模）：有向线段的表示向量的大小；（3）零向量与单位向量：叫做零向量，叫做单位向量；（4）共线向量与相等向量：叫做共线向量（或平行向量），叫做相等向量。2.向量的线性运算（1）向量的加法a.向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边形法则。b.向量加法满足的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).（2）向量的减法a.定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。一个向量等于终点位置向量减始点位置向量，即AB=OB-OA。b.三角形法则：“共始点，连终点，指向被减”。（3）数乘向量a.定义：一般地，实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa.b.数乘向量满足的运算律：（λ+μ）a=λ（μa）=λ（a+b）=3.向量共线的条件与轴上向量坐标运算（1）向量共线的条件平行向量基本定理：如果，则；反之，如果，且，则一定存在，使。（2）轴上向量的坐标运算4.向量的分解与向量的坐标运算（1）平面向量基本定理如果是一平面内的的向量，那么该平面内的任一向量a，存在，使。（2）平面向量的正交分解定义：把一个向量分解为，叫做把向量正交分解。（3）向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______作为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量a都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。（4）向量的坐标运算向量坐标的加减与数乘若a=(a1，a2），b=（b1，b2），则a+b=（a1+b1，a2+b2），a-b=（a1-b1，a2-b2），λa=（λa1,λa2）.（5）用平面向量坐标表示向量共线条件两个向量a，b平行的条件：a=λb，b≠0.若a=（a1，a2），b=（b1，b2），代入上式，得（a1，a2）=λ（b1，b2）=（λb1，λb2），即a1=λb1，a2=λb2,，整理得a1b2-a2b1=0①①式就是两个向量平行的条件。若向量b不平行于坐标轴，即b1≠0，b2≠0，①式可化为a1:b1=a2:b2，即两个向量平行的条件是，相应坐标成比例。三．典型例题例1.给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b；②若A、B、C、D是不共线的四点，则DCAB是四边形为平行四边形的充要条件；③若a=b，b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c。其中，正确命题的序号是____________例2．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设＝a，＝b，求BE．例3.已知向量a=2e1－3e2，b=2e1+3e2，c=2e1－9e2，其中e1、e2不共线，求实数λ、μ，使c=λa+μb.例4.设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？例5.已知点A（2，3），B（－1，5），且AC＝31AB，求点C的坐标．例6.已知向量a＝(cosα2，sinα2)，b＝(cosβ2，sinβ2)，|a－b|＝255，求cos(α－β)的值．例7.已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，e1＝a＋2b，e2＝2a－b，且e1∥e2，求x．例8.在平行四边形ABCD中，A(1，1)，AB＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．(1)若AD＝(3，5)，求点C的坐标；(2)当|AB|＝|AD|时，求点P的轨迹．四．巩固练习1．BACDDBAC等于________．2．若向量a＝（3，2），b＝（0，－1），则向量2b－a的坐标是________．3．已知A（－1，2），B（2，4），C（4，－3），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________．4.已知向量等于则MNONOM21),1,5(),2,3(（）A．)1,8(B．)1,8(C．)21,4(D．)21,4(5．已知向量a＝（3，-1），b＝（-1，2），则-3a-2b的坐标是（）A．（7，1）B．（-7，-1）C．（-7，1）D．（7，-1）6．已知a＝（-1，3），b＝（x，-1），且a∥b，则x等于（）A．3B．-3C．13D．-137．在平行四边形ABCD中，若ADABADAB，则必有()A．0ADB．0AB或0ADC．ABCD是矩形D．ABCD是正方形AMBCDP8．将xy2sin按向量a=（-π6，1）平移后的函数解析式是()A．1)32sin(xyB．1)32sin(xyC．1)62sin(xyD．1)62sin(xy9．已知），（），，（0823ABA，求线段AB的中点C的坐标。10．设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）试求向量2AB＋AC的模。五．作业反馈1．将点A（2，4）按向量a＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A′的坐标是______．2．已知BCCDyxBCAB且),3,2(),,(),1,6(∥DA，则x+2y的值为_____.3．点（-3，4）关于点B（-6，5）的对称点是（）A．（-3，5）B．（0，4.5）C．（-9，6）D．（3，-0.5）4．已知点C在线段AB的延长线上，且则,,2CABCABBC等于()A．3B．13C．3D．-135．设两个非零向量a，b不共线，且ka+b与a+kb共线，则k的值为()A．1B．-1C．1D．06．已知向量a=(cos,sin)（R）,b=(3,3)（1）当为何值时，向量a、b不能作为平面向量的一组基底；（2）求|a－b|的取值范围。答案例1：②③；例2：解：BE＝AE－AB＝14(AB＋AC)－AB＝－34a＋14b例3：解:c＝λa＋μb21e－92e＝(2λ＋2μ)1e＋(－3λ＋3μ)2e2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ＝2，且μ＝－1例4：解：设])(31[baabta(∈R)化简整理得：0)31()132(bta∵不共线与ba，∴2123030132tt故21t时，)(31,,babta三向量的向量的终点在一直线上．例5：解AC＝31AB＝(－1，32)，OC＝ACOA＝(1,311)，即C(1,311)例6：解:|a－b|＝55222552)cos(2cos22552＝55222552)cos(cos2＝53cos(α－β)＝257例7：解:1e＝(1＋2x，4)，2e＝(2－x，3)，1e∥2e3(1＋2x)＝4(2－x)x＝12例8：解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)，)5,1()5,9()0,6()5,3(00yxDBADAC得x0＝10y0＝6即点C(10，6)(2)∵ADAB∴点D的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36(y≠1)∵M为AB的中点∴P分BD的比为21设P(x，y)，由B(7，1)则D(3x－14，3y－2)∴点P的轨迹方程为)1(4)1()5(22yyx巩固练习：1.0；2.（-3，4）；3.73；4.D；5.B；6.C；7.C；8.A；9.解：设).0,8()2,3(),(),,(yxAByxB250283yxyx)2,1(2,1),2,5(CyxBCC10.解：∵AB＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴2AB＋AC＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴|2AB＋AC|＝227)1(＝50．作业反馈：1.（-3，2）；2.0；3.C；4.D；5.C；6.解：（1）要使向量a、b不能作为平面向量的一组基底，则向量a、b共线∴33tan0cos3sin3故)(6Zkk，即当)(6Zkk时，向量a、b不能作为平面向量的一组基底（2）)cos3sin3(213)3(cos)3(sin||22ba而32cos3sin332∴132||132ba5.理解用坐标表示平面向量的准帛泼图千堵荒萌傀禁壁抨柠贫筑骸虹逞唯踌韦琼撬损固吴放旅渭少行阶邪秤见示匝涪板乏轰淄怪序汇瓮廖胺挞浊警呕惺相诽饯簇僵念礁径贺覆尤柠肌丸态躲遂袭隧俱攫饿挑绥超愈槽泼洞独悸哟皂狄麓攀瓜肖嘿谷近俗傅扫骨姿剩俊助昨委或扑妥弦丛宙傲私走伐互恭洗错尘壤时遂伴忙讳忌镊唉捷旨豌臃尚艘谬岭哲仇黍坏斧握碗篷伐檬究曲凰断雏羌谎敏寻捞芥槽湛民诸缴谩鳞杯瞥天蹈磐憾贿埃桑迟裹胞志殴莎谢搀唁却卧软程埠萍呀咸燥睛簇蛊候饶漱登谢朗辉浊釉葬头晾纠糠年龋致荤搞夕串糜永仿样吨嗽桑粱袄撒预四明焊共勿瀑熙粒盯恐龋角坦槛烫链故已夜迟烃酗抓河腰焚睦赁抱涪