05-分析动力学4-第二类拉氏方程

2020年8月22日Page1清华大学航天航空学院王天舒（[e-mail]）分析动力学之第二类拉氏方程2020年8月22日Page2本节内容内容1：第二类拉氏方程内容2：广义力的求法虚位移不独立，具体求解仍需考虑约束力以广义坐标为变量1()δ0niiiiimFrr动力学普遍方程内容3：例2020年8月22日Page3对于具有N个质点的完整理想约束系统，定义广义坐标为:q1,q2,…,ql,则质点i的向径可以表示为：12(,,,,)iilqqqtrr1()δ0NiiiiimFrr达朗贝尔－拉格朗日原理：1liikkkqqrr质点向径与广义坐标的变分关系：111NNliiiikkiikqqrFrF广义主动力（广义力）1NiikkiqQrF111lNiikkkilkkkQqqqrF广义坐标形式的达朗贝尔-拉格朗日方程2020年8月22日Page4111NNliiiiiikkiikmmqqrrrr*kQ广义惯性力11lkiikikNiqmqrr*10lkkkkQQq达朗贝尔原理－拉格朗日原理可以写为：以上的推导仅需要理想约束条件对于完整系统：*0kkQQ广义主动力和广义惯性力相互平衡！广义坐标形式的达朗贝尔-拉格朗日方程2020年8月22日Page5iikkqqrr221liiijkjkkjqqqqtqrrrddiikkqtqrr12(,,,,)iilqqqtrr1ljjijjjqqtrrr对t求导kq对求导对qk求导1liijjkkjqqqtqrr拉格朗日关系式拉格朗日经典关系2020年8月22日Page611ddddNNiiiiiikkiimmtqtqrrrriikkqqrrddiikkqtqrr11ddNNiiiiiikkiimmtqqrrrr2211d11d22NNiiiikkiimmtqqrrddkkTTtqq*1NikiikiQmqrrd,1,2,,dkkkTTQkltqq第二类拉格朗日方程2020年8月22日Page7第二类拉格朗日方程1788年拉格朗日、《分析力学》：“我在这里所提出的方法，既不需要几何性质的也不需要力学性质的作图或推论，而只要求按照一种正规和一致的方法进行代数运算。那些爱好分析的人会愉快地看到力学作成了它的一个分枝，并且会感谢我这样扩大了分析的领域”。d,1,2,,dkkkTTQkltqq拉格朗日方程给非自由质点系的动力学问题提出一个普遍、简单而统一的解法。广义惯性力仅适用于完整系统。2020年8月22日Page8若在空间某区域，质点所受的作用力只依赖于空间位置和时间，而与其速度无关，则称该空间区域存在力场，如重力场、万有引力场、弹性力场、电场、磁场等。若存在标量函数V，只依赖于质点Pi的坐标xi、yi、zi，并且质点Pi在力场中所受的力等于,,ixiyiziiiVVVFFFxyz则称力场有势，函数V为势能，Fi为有势力。系统中主动力为有势力：保守系统力场2020年8月22日Page9d,1,2,,dkkkTTQkltqq如主动力都是有势力：kkVQqddkkkTTVtqqq第二类拉格朗日方程0kVqd0,1,2,,dkkLLkltqqL=T–V—拉格朗日函数，或动势主动力为有势力时的拉格朗日方程有势力的第二类拉氏方程2020年8月22日Page10kmxx212TmxddkkkTTQtqq取广义坐标为xddkkTTmxtqq约束方程为：0;0YZ根据广义力的定义1NiikkiqQrF;0;0xyzFkxFFkxyzXYZQFFFkxxxx笛卡儿位移与广义坐标的关系为：;0;0XxYZmxkx例1：广义力的计算（按定义）2020年8月22日Page11注意到广义坐标是相互独立的，令qk不为0，其余的为0，则广义力的虚功为：kkkWWQqkkWQqkmxxWkxxkQkx例1：广义力的计算（按虚功）2020年8月22日Page12杆受的外力作用在质心上：111222;0;0xyxyFmgFFmgF笛卡儿位移与广义坐标的关系为：111111211221112211cos;sin2211coscos;sinsin22xLyLxLLyLL11111111112211sin;cos220;0xyLLxy1NiikkiqQrF例2：广义力的计算（按定义）2020年8月22日Page132211111122222222sin;cos11sin;cos22xyLLxyLL211221112211coscos;sinsin22xLLyLL1NiikkiqQrF1122111221111xyxyxyxyQFFFF11121112111sinsin21()sin2mgLmgLmmgL22221sin2QmgL例2：广义力的计算（按定义）2020年8月22日Page14求Q2：固定1，重力功为：2221cos2WmgL22221sin2WmgL22221sin2QmgL求Q1：固定2，重力功为：1111cos2WmgL211221(coscos)2mgLL111121111sinsin2WmgLmgL112111()sin2QmmgL例2：广义力的计算（按虚功）2020年8月22日Page15杆1：定点转动杆2：平面运动21112oTJ222212cTJ222221()2mxy21113oJmL其中：2222112CJmL21122211221coscos21sinsin2xLLyLL211122221112221sinsin21coscos2xLLyLL22222222221122122112111()(cos())224mxymLLLL222222112212211211(cos())23TmLLLL例3：动能的计算（理论力学解法）2020年8月22日Page162211()2Txydm1111cossinxlyl22221111111(sin)(cos)2lldm2211112ldl2211111()23mL2221()2Txydm21112222111222sinsincoscosxLlyLl222211211212211(2cos()2LlLldm22222112112211211(cos())23mLLLL例3：动能的计算（离散点积分）2020年8月22日Page17取x和为广义坐标cosBVmgl222222112211(2cos)22AABBABTmvmvmxmxllx系统的势能为系统的动能为LTV系统的拉格朗日函数为xxyABOgmAgmB例4：保守系统的第二类拉氏方程2020年8月22日Page180Lx()cosABBLmmxmlx2d()cossindABBBLmmxmlmltxsinsinBBLmlxmgl2cosBBLmlmlx2dcossindBBBLmlmlxmlxt22:()cossin0:cossin0ABBBBBBxmmxmlmlmlmlxmgl222211(2cos)cos22ABBLmxmxllxmgld0,1,2dkkLLktqq例4：保守系统的第二类拉氏方程2020年8月22日Page19例5：非保守系统的第二类拉氏方程质量为m1，质心在O1的物块放在光滑的水平面上，其一端用弹性系数为k的水平放置的弹簧与墙相连；另一端作用有一个水平力，在物块上相嵌一以O1为圆心，半径为r的圆形轨道，一质量为m2，大小不计的小球在其内运动。求物块与小球的运动微分方程。0sinFFt2020年8月22日Page20例5：非保守系统的第二类拉氏方程取x和为广义坐标，l0系为弹簧原长cosBVmgl力：重力、弹性力、外力2020年8月22日Page211vx物块速度：例5：非保守系统的第二类拉氏方程222()2cosvxrxr小球速度：22212211()(2cos)22Tmmxmrxr动能：22(1cos)2kVxmgr势能：0sinxWFtx虚功：0W0sinxQFt广义力：0Q2020年8月22日Page22例5：非保守系统的第二类拉氏方程ddxLLQtxxddLLQt21220()(cossin)sincossin0mmxmrkxFtrxg方程：2020年8月22日Page23半径为R的圆环在力偶矩为M的力偶作用下以角速度匀速转动，质量为m的小环可在圆环上自由滑动。已知圆环对y轴的转动惯量为J，忽略摩擦力。求为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩M。xyRmORM例6：求约束力2020年8月22日Page24解除匀速转动约束，代之于约束反力。系统具有两个自由度，取和为广义坐标。222221(sin)21cos2LJmRmRmgRxyRmORMMQM0L22(sin)LJmR222d(sin)2sincosdLJmRmRt例6：求约束力2020年8月22日Page25将约束条件和代入上式，即得为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩M为022sincosMmRddLLQt222(sin)2sincosMJmRmR例6：求约束力2020年8月22日Page26END！